2024年中考数学（沪科版）二轮复习专题特训课件求与圆有关的阴影部分的面积

专题特训　求与圆有关的阴影部分的面积 类型一　利用作差法求阴影部分面积 1. （2023·十堰）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以点O为圆心，OA长为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且E是的中点. （1） 求证：BC是半圆O的切线. 1 2 3 4 5 6 7 解：（1） 如图，连接OE，OD.∵ ∠C＝90°，AC＝BC，∴ ∠OAD＝∠B＝45°.∵ OA＝OD，∴ ∠OAD＝∠ADO＝45°.∴ ∠AOD＝90°.∵ E是的中点， ∴ ∠DOE＝∠EOF＝∠DOF＝×（180°－90°）＝45°.∴ ∠OEB＝180°－∠EOF－∠B＝90°. ∴ OE⊥BC.∵ OE是半径，∴ BC是半圆O的切线. （第1题答案） 1 2 3 4 5 6 7 （2） 若CE＝，求图中阴影部分的面积（结果保留π）. 解：（2） ∵ OE⊥BC，∠B＝45°，∴ △OEB是等腰直角三角形.设BE＝OE＝x，则OB＝x.∴ AB＝x＋x.根据题意，得△ABC是等腰直角三角形.∴ 易得AB＝BC.∴ x＋x＝（＋x），解得x＝2.∴ S阴影部分＝S△OEB－＝×2×2－＝2－. 1 2 3 4 5 6 7 2. 如图，AB为☉O的直径，OE⊥BC，垂足为E，AB⊥CD，垂足为F. （1） 求证：AD＝2OE. 解：（1） 如图，连接AC.∵ AB⊥CD，∴ ＝. ∴ AC＝AD.∵ OE⊥BC，∴ E为BC的中点.∵ O为AB的中点，∴ OE为△ABC的中位线. ∴ OE＝AC. ∴ OE＝AD，即AD＝2OE. （第2题答案） 1 2 3 4 5 6 7 （2） 若∠ABC＝30°，☉O的半径为2，求两个阴影部分面积的和. 解：（2） S半圆＝π·OB2＝π×22＝2π.∵ AB为☉O的直径，∴ ∠ACB＝90°.∵ ∠ABC＝30°，AB＝4， ∴ AC＝AB＝×4＝2，BC＝＝＝2. ∴ S△ABC＝AC·BC＝×2×2＝2.∵ 由（1）知，＝，∴ 易得弓形AD的面积＝弓形AC的面积. ∴ S阴影部分＝S半圆－S△ABC＝2π－2. 1 2 3 4 5 6 7 类型二　利用图形变换求阴影部分面积 3. 如图，在两个半圆中，小半圆O'的圆心O'在大半圆O的直径CD上，长为4的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，求图中阴影部分的面积. 1 2 3 4 5 6 7 解：如图，连接OB，过点O作OP⊥AB于点P，则BP＝AB＝2. ∵ AB∥CD，且AB与小半圆相切，∴ 易得小半圆的半径＝OP的长. ∴ S阴影部分＝S大半圆－S小半圆＝π·OB2－π·OP2＝π·（OB2－OP2）＝π·BP2＝2π. （第3题答案） （第3题答案） 1 2 3 4 5 6 7 类型三　利用割补法求阴影部分面积 4. （2023·齐齐哈尔）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E是斜边AC上一点，以AE为直径的☉O经过点D，交AB于点F，连接DF. （1） 求证：BC是☉O的切线. 1 2 3 4 5 6 7 解：（1） 如图，连接OD.∵ 以AE为直径的☉O经过点D，∴ OA＝OD.∴ ∠OAD＝∠ODA.∵ AD平分∠BAC，∴ ∠OAD＝∠BAD.∴ ∠ODA＝∠BAD. ∴ OD∥AB.∴ ∠ODC＝∠B＝90°.∴ OD⊥BC.∵ OD是☉O的半径，∴ BC是☉O的切线. 1 2 3 4 5 6 7 （2） 若BD＝5，tan∠ADB＝，求图中阴影部分的面积（结果保留π）. 解：（2） 如图，连接OF，DE.∵ ∠B＝90°，tan∠ADB＝，∴ ∠ADB＝60°，∠BAD＝30°. ∵ BD＝5，∴ AD＝2BD＝10.∵ AE是☉O的直径， ∴ ∠ADE＝90°.又∵ AD平分∠BAC，∴ ∠DAE＝∠BAD＝30°，∠BAC＝60°.在Rt△ADE中，AD＝10，∵ cos∠DAE＝＝，∴ AE＝. 1 2 3 4 5 6 7 ∴ OA＝AE＝.∵ OA＝OF，∠BAC＝60°， ∴ △AOF 是等边三角形.∴ ∠AOF＝60°.∵ OD∥AB，∴ △ADF与△AOF同底等高，即S△ADF＝S△AOF. ∴ S阴影部分＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 类型四　利用设元法求阴影部分面积 5. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，四边形EFGB也是正方形，以点B为圆心，BA长为半径画，连接AF，CF，求图中阴影部分的面积. （第5题） 解：设正方形EFGB的边长是a，则CE＝4－a. ∴ S阴影部分＝S△CEF＋S正方形EFGB＋S扇形ABC－S△AGF＝a（4－a）＋a2＋－（4＋a）a＝4π. 1 2 3 4 5 6 7 类型五　利用等积法求阴影部分面