2024年中考数学二轮复习专题特训课件：垂径定理的应用

专题特训 垂径定理的应用 类型一 求半径 1. (2023 上海)如图,在 O中,弦AB的长为8,点C在BO的延长线上,且cos∠ABC=,OC=OB.求: (1) O的半径. 解:(1) 如图,过点O作OD⊥AB,垂足为D.∵ AB=8,∴ AD=BD=AB=4.在Rt OBD中,cos∠ABC=,∴ OB===5.∴ O的半径为5. 1 2 3 4 5 6 7 (2) ∠BAC的正切值. 解:(2) 如图,过点C作CE⊥AB,垂足为E.∵ OC=OB,OB=5,∴ BC=OB=7.5.∵ OD⊥AB, ∴ OD∥CE.∴ 易得=.由(1),知BD=4,∴ =. ∴ BE=6.∴ AE=AB-BE=8-6=2.在Rt BCE中,CE===4.5,在Rt ACE中,tan∠BAC===,∴ ∠BAC的正切值为. (第1题答案) 1 2 3 4 5 6 7 类型二 求弦长 2. 如图,AB为 O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=26,EB=8,求弦CD的长. 1 2 3 4 5 6 7 解:如图,连接OC.∵ AB为 O的直径,CD⊥AB,∴ CE=DE=CD,OC=OB=AB=13.∴ OE=OB-EB=13-8=5.在Rt OCE中,由勾股定理,得CE==12,∴ CD=2CE=24. (第2题答案) (第2题答案) 1 2 3 4 5 6 7 3. 如图,直线AC与 O相交于点B,C,直线AD过圆心O.若 O的半径是5,且∠DAC=30 ,AD=13,求弦BC的长. 1 2 3 4 5 6 7 解:如图,过点O作OM⊥BC,交BC于点M,连接OC.∴ ∠AMO=∠CMO=90 ,BM=CM=BC.∵ AD=13,OD=5,∴ AO=AD-OD=8. 在Rt AOM中,∠OAM=∠DAC=30 ,∴ OM=AO=4.在Rt OCM中,OM=4,OC=5,∴ MC==3.∴ BC=2MC=6. (第3题答案) 1 2 3 4 5 6 7 类型三 求弦心距 4. 如图, O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,AE=2,CD=8.求OE的长. 1 2 3 4 5 6 7 解:如图,连接OD,设 O的半径为r.∵ AB⊥CD,CD=8,∴ ∠OED=90 ,DE=CE=CD= 8=4.∵ 在Rt ODE中,OE=OA-AE=r-2,OD=r,DE=4,∴ (r-2)2+42=r2,解得r=5,即 O的半径为5.∴ OE=5-2=3. (第4题答案) (第4题答案) 1 2 3 4 5 6 7 5. 如图,DE是 O的直径,AB是 O的弦,AB的中点C在直径DE上,AB=8cm,CD=2cm. (1) 求 O的面积. 1 2 3 4 5 6 7 (第5题答案) (第5题答案) 解:(1) 如图,连接OA.∵ DE是 O的直径,C为AB的中点,AB=8cm,∴ DE⊥AB,AC=AB=4cm.设 O的半径为rcm,则OC=OD-CD=(r-2)cm.在Rt ACO中,由勾股定理,得OC2+AC2=AO2,即(r-2)2+42=r2,解得r=5.∴ O的面积为 52=25 (cm2). 1 2 3 4 5 6 7 (2) 连接AE,过圆心O向AE作垂线,垂足为F,求OF的长. 解:(2) ∵ OC=OD-CD=5-2=3(cm),EC=EO+OC=5+3=8(cm),∴ 在Rt ECA中,由勾股定理,得EA===4(cm). ∵ OF⊥AE,∴ EF=EA=2cm.∴ 在Rt EFO中,由勾股定理,得OF===(cm). 1 2 3 4 5 6 7 类型四 求点的坐标 6. (1) 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(10,0),点B的坐标为(8,0),点C,D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形.求点C的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 解:(1) ∵ 四边形OCDB是平行四边形,点B的坐标为(8,0),∴ CD∥OA,CD=OB=8.如图,过点M作MF⊥CD于点F,则CF=CD=4.过点C作CE⊥OA于点E,易得四边形EMFC为矩形.∴ ME=CF=4.∵ 点A的坐标为(10,0),∴ OA=10. ∴ OM=OA=5.∴ OE=OM-ME=5-4=1.连接MC,则MC=OM=5,∴ 在Rt CMF中,MF==3.∴ 易得点C的坐标为(1,3). (第6题答案) 1 2 3 4 5 6 7 (2) 在(1)的条件下,试在平面直角坐标系内确定点N,使 NOA与 AOC相似,直接写出所有符合条件的点N的坐标. 解:(2) N1(1,-3),N2(9,3),N3(9,-3),N4(10,30),N5(10,-30),N6(0,30),N7(0,-30),N8(10,),N9(10,-),N10(0,),N11(0,