2024年中考数学（沪科版）二轮复习高频考点突破课件 圆

　圆 考点一　旋转变换 典例1　（2023·包头）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AB'C'.连接BB'，交AC于点D，则的值为 　　　　⁠. 思路导引　过点D作DF⊥AB于点F，利用勾股定理求得AB＝，根据旋转的性质易证△ABB'，△DFB 是等腰直角三角形，可得DF＝BF，再由S△ADB＝BC·AD＝DF·AB，得AD＝DF，证明△AFD∽△ACB，可得＝，即AF＝3DF，然后由AF＝－DF，求得DF＝，从而求得AD＝，CD＝，即可求解. 规范解答　如图②，过点D作DF⊥AB于点F.∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，∴ AB＝＝.∵ 将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C'，∴ AB＝AB'＝，∠BAB'＝90°.∴ △ABB'是等腰直角三角形.∴ ∠ABB'＝45°.∵ DF⊥AB，∠DBF＝45°，∴ 易得△DFB是等腰直角三角形.∴ DF＝BF.由S△DBA＝BC·AD＝DF·AB，得AD＝DF. ∵ ∠AFD＝∠C＝90°，∠FAD＝∠CAB，∴ △AFD∽△ACB.∴ ＝，即AF＝3DF.又∵ AF＝－BF＝－DF，∴ DF＝. ∴ AD＝×＝.∴ CD＝3－＝.∴ ＝＝5.故填5. 方法归纳 利用旋转的性质求线段的长或角度的方法 根据图形旋转前后的对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角，可构造特殊三角形，再结合特殊三角形的性质求出线段的长或角的度数. 1. （2023·天津）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（　A　） A. ∠CAE＝∠BED B. AB＝AE C. ∠ACE＝∠ADE D. CE＝BD A 1 2 3 4 5 6 7 2. （2023·菏泽）如图，E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF.连接EF，交BC于点G.若∠ABE＝55°，则∠EGC的度数为 　80°　⁠. 80° 1 2 3 4 5 6 7 考点二　圆的概念与性质 典例2　（2023·贵州）如图①，☉O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长，交AB于点D，交☉O于点E，连接EA，EB. （1） 写出图中一个度数为30°的角： 　　　　⁠，图中与△ACD全等的三角形是 　　　　⁠. （2） 求证：△AED∽△CEB. 1 2 3 4 5 6 7 （3） 如图②，连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由. (典例2图) 1 2 3 4 5 6 7 思路导引　（1） 由☉O是等边三角形ABC的外接圆，可知点O为外心，故CD为AB的垂直平分线，又易知AC＝BC，故CE平分∠ACB，并可利用“HL”证明△ACD≌△BCD.（2） 利用两三角形两个对应角相等，可证明两三角形相似.（3） 由四边形OAEB四条边相等，可知它为菱形. 1 2 3 4 5 6 7 规范解答　（1） ∵ ☉O是等边三角形ABC的外接圆，∴ 点O是△ABC的外心.∴ 易得CE⊥AB，AD＝BD.∴ ∠ADC＝∠BDC＝90°.由题意，得AC＝BC，∠ACB＝60°.∴ ∠1＝∠2＝∠ACB＝30°.∴ ∠3＝∠2＝30°，∠4＝∠1＝30°.∵ AC＝BC，CD＝CD，∴ Rt△ACD≌Rt△BCD.故填∠1（答案不唯一）；△BCD. （2） ∵ CE⊥AB，CE是☉O的直径， ∴ ∠ADE＝∠CBE＝∠CAE＝90°. ∵ ∠3＝∠2，∴ △AED∽△CEB. 1 2 3 4 5 6 7 （3） 四边形OAEB为菱形. 理由：∵ ∠CAE＝90°，∠1＝30°，O是CE的中点， ∴ AE＝CE，OA＝CE. 同理可证BE＝CE，OB＝CE. ∴ OA＝OB＝AE＝BE. ∴ 四边形OAEB为菱形. (典例2图) 1 2 3 4 5 6 7 方法归纳 利用圆的性质作辅助线的方法 遇到弦时，常连接圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角. 1 2 3 4 5 6 7 3. （2023·随州）如图，在☉O中，OA⊥BC，∠AOB＝60°，则∠ADC的度数为 　30°　⁠. 30° 1 2 3 4 5 6 7 考点三　直线与圆的位置关系 典例3　（2023·乐山）如图，☉O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连接AD，AE，且AD＝AE，CA＝CE. （典例3图） （1） 求证：AE是☉O的切线. （2） 若sinE＝，☉O的半径为3，求AD的长. 1 2 3 4 5