2024年中考数学（沪科版）二轮复习专题特训课件 与相似三角形有关的证明和计算

专题特训　 与相似三角形有关的证明和计算 类型一　求线段长 1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，D分别是BC，AC上的点，且∠AED＝45°.若AB＝5，BE＝，求AD的长. （第1题） 解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，∴ ∠B＝∠C＝45°，BC＝＝5.∵ BE＝，∴ EC＝BC－BE＝4.∵ ∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AED＋∠CED，∠AED＝45°，∴ ∠BAE＝∠CED.∴ △ABE∽△ECD.∴ ＝，即＝.∴ CD＝.∴ AD＝AC－CD＝5－＝. 类型二　求角度 2. （2022·蚌埠期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且满足AD2＝CD·AC，连接BD.若AD＝BC，求∠ABD的度数. （第2题） 解：∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠C.∵ AD2＝CD·AC，AD＝BC，∴ BC2＝CD·AC，即＝.又∵ ∠C＝∠C，∴ △BCD∽△ACB.∴ ∠BDC＝∠ABC＝∠C，∠DBC＝∠A.∴ BD＝BC＝DA.∴ ∠A＝∠ABD.设∠A＝x°，则∠ABD＝∠DBC＝x°，∠C＝∠BDC＝2x°.∵ ∠DBC＋∠BDC＋∠C＝180°，∴ x＋2x＋2x＝180，解得x＝36.∴ ∠ABD＝36°. 类型三　求线段的比 3. 如图，在▱ABCD中，点E在BA的延长线上，连接EC，BD交于点G，EC交AD于点F.已知EA∶AB＝1∶2.求： （1） 的值. 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC. （1） ∵ EA∶AB＝1∶2，∴ ＝.∵ AD∥BC，∴ ＝＝. （2） 的值. 解：（2） ∵ AB∥CD，∴ △EAF∽△CDF.∴ ＝＝＝.∴ ＝＝. ∵ AD∥BC，∴ △FDG∽△CBG.∴ ＝＝. 类型四　证明线段等积或成比例 4. 如图，在锐角三角形ABC中，BD和CE分别是边AC，AB上的高，BD与CE交于点F. （1） 求证：＝. 解：（1） ∵ BD和CE分别是边AC，AB上的高，∴ ∠FEB＝∠AEC＝∠BDA＝90°.∴ ∠EAC＋∠ACE＝90°＝∠BAD＋∠ABD.∴ ∠ACE＝∠ABD.∴ △AEC∽△FEB.∴ ＝. （第4题） （2） 连接AF，求证：AF·BE＝BC·EF. 解：（2） ∵ 由（1），知△AEC∽△FEB，∴ ＝.∴ ＝.又∵ ∠AEF＝∠CEB＝90°，∴ △AEF∽△CEB.∴ ＝. ∴ AF·BE＝BC·EF. （第4题） 类型五　证明线段相等 5. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接DC，FB，分别交AB，AC于点P，Q.求证：AP＝AQ. （第5题） 解：设正方形ABDE和正方形ACFG的边长分别为a，b.∵ 四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，∴ AB＝BD＝DE＝AE＝a，AC＝CF＝FG＝AG＝b，AP∥DE，AQ∥GF.∴ △APC∽△EDC，△AQB∽△GFB.∴ ＝＝，＝＝. ∴ AP＝，AQ＝.∴ AP＝AQ. 类型六　证明垂直 6. 如图，F是正方形ABCD的边BC上一点，且BF＝3FC，E是DC的中点.求证： （1） △ADE∽△ECF. 解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠D＝∠C＝90°，AD＝CD＝BC.∵ BF＝3FC，E是DC的中点，∴ FC＝BC，DE＝CE＝CD.∴ ＝＝.∴ △ADE∽△ECF. （第6题） （2） AE⊥EF. 解：（2） 由（1），知△ADE∽△ECF，∴ ∠AED＝∠EFC. ∵ ∠EFC＋∠CEF＝90°，∴ ∠AED＋∠CEF＝90°.∴ ∠AEF＝90°.∴ AE⊥EF. 类型七　证明平行 7. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D.过点B作AD的垂线，垂足为E，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点F，连接CE并延长，交FB的延长线于点P，连接AP.求证： （1） AB·AF＝AC·AE. 解：（1） ∵ AD平分∠BAC，∴ ∠BAE＝∠CAF. ∵ BE⊥AD，CF⊥AD，∴ ∠AEB＝∠AFC＝90°. ∴ △ABE∽△ACF.∴ ＝.∴ AB·AF＝AC·AE. （第7题） （2） CF∥AP. 解：（2） ∵ BE⊥AD，CF⊥AD，∴ BE∥CF. ∴ △PEB∽△PCF.∴ ＝.由（1），知△ABE∽△ACF， ∴ ＝.∴ ＝.∴ 易得＝.又∵ ∠AEP＝∠FEC， ∴ △AEP∽△FEC.∴ ∠APE＝∠FCE.∴ CF∥AP. （第7题） 类型八　证明线段倍分 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是边BC上的两个点，且BD＝DE＝EC，过点C作CF∥AB，交AE