2024年中考数学（沪科版）二轮复习专题特训：相似三角形的几种常见模型

专题特训　相似三角形的几种常见模型 类型一　“A”型 1. 如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F. （1） 写出图中的三对相似三角形（注意：不添加辅助线）. 解：（1） △EAF∽△EBC，△CDF∽△EBC，△CDF∽△EAF. （第1题） （2） 请在你所找出的相似三角形中选一对，说明相似的理由. 解：（2） 答案不唯一，如选△EAF∽△EBC.理由：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC.∴ △EAF∽△EBC. 2. 如图，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接DE.求证：＝. （第2题） 解：∵ AD⊥BC，BE⊥AC，∴ ∠ADC＝∠BEC＝90°.又∵ ∠C＝∠C，∴ △BEC∽△ADC.∴ ＝，即＝.又∵ ∠C＝∠C，∴ △CDE∽△CAB.∴ ＝. 类型二　“X”型 3. 如图，AG∥BD，DG交AB于点F，点C在线段BD上，连接AC，交DG于点E.若＝，＝2，求的值. （第3题） 解：∵ AG∥BD，∴ △AGF∽△BDF.∴ ＝＝.∵ ＝2，∴ ＝.∴ AG＝BC.∴ ＝2.∵ AG∥BD，∴ △AGE∽△CDE.∴ ＝＝2. 4. 如图，E为▱ABCD的边CD的延长线上一点，连接BE交AC于点O，交AD于点F.求证： （1） △AOB∽△COE. 解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD. ∴ △AOB∽△COE. （第4题） （2） OB2＝OE·OF. 解：（2） ∵ △AOB∽△COE，∴ ＝.∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC.∴ △AOF∽△COB.∴ ＝.∴ ＝，即OB2＝OE·OF. 类型三　“一线三等角”型 5. （2022·安庆模拟）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G. （1） 求证：△ABE∽△EGB. 解：（1） ∵ 四边形ABCD为正方形，且∠BEG＝90°，∴ ∠A＝∠ABG＝∠BEG＝90°.∴ ∠ABE＋∠EBG＝90°，∠G＋∠EBG＝90°.∴ ∠ABE＝∠G.∴ △ABE∽△EGB. （第5题） （2） 若AB＝6，求CG的长. 解：（2） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD＝BC＝AB＝6. ∵ E为边AD的中点，∴ AE＝DE＝3.在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE＝＝＝3.由（1），知△ABE∽△EGB，∴ ＝，即＝.∴ BG＝15.∴ CG＝BG－BC＝15－6＝9. （第5题） 6. （1） 尝试：如图①，A，E，B三点在同一条直线上，且∠A＝∠B＝∠DEC＝90°.求证：△ADE∽△BEC. （第6题） 解：（1） ∵ ∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，∴ ∠DEA＋∠CEB＝90°，∠DEA＋∠D＝90°.∴ ∠D＝∠CEB.∴ △ADE∽△BEC. （2） 一名同学在尝试了上题后还发现：如图②③，只要A，E，B三点在同一条直线上，且∠A＝∠B＝∠DEC，则（1）中的结论总成立.你同意吗？请选择其中之一说明理由. （第6题） 解：（2） 同意.选择不唯一，如选择题图②说明理由：∵ ∠A＝∠B＝∠DEC，∠A＋∠D＝∠DEC＋∠CEB，∴ ∠D＝∠CEB.∴ △ADE∽△BEC. 类型四　“手拉手”型 7. 如图，点C在△ADE的边DE上，AD与BC相交于点F，∠1＝∠2，＝.求证：AF·DF＝BF·CF. （第7题） 解：∵ ∠1＝∠2，∴ ∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.∵ ＝，即＝，∴ △ABC∽△ADE.∴ ∠B＝∠D.∵ ∠BFA＝∠DFC，∴ △ABF∽△CDF.∴ ＝.∴ AF·DF＝BF·CF. 类型五　“母子”型 8. （2022·宣城期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为边AC的中点，过点D，E作直线交AB的延长线于点F. （1） 若AB＝6，AC＝8，求BD的长. 解：（1） ∵ ∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴ BC＝＝10.∵ ∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴ ∠CAB＝∠ADB＝90°.∵ ∠CBA＝∠ABD，∴ △CBA∽△ABD.∴ ＝，即＝.∴ BD＝3.6. （第8题） （2） 求证：AB·AF＝AC·DF. 解：（2） 由（1），知△CBA∽△ABD.∴ 易得BD∶AD＝AB∶AC①. ∵ AD⊥BC，E为边AC的中点，∴ ED＝AE＝EC.∴ ∠C＝∠EDC＝∠BDF.又∵ 由（1），知△CBA∽△ABD，∴ ∠C＝∠BAD.∴ ∠BDF＝∠DAF.又∵ ∠F＝∠F，∴ △DBF∽△ADF.∴ BD∶AD＝DF∶AF②.由①②，得AB∶AC＝DF∶AF.∴ AB·AF＝AC·DF.