3.3.1 指数函数(1) 课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第三章 指数运算与指数函数 3.3.1 指数函数的概念 3.3.2 指数函数的图象和性质(1) 1.理解指数函数的概念、图象和性质. 2.在探究式的学习中,体会研究函数的基本方法. 指数函数的概念和性质. 用指数函数的性质比较不同底数、不同指数的指数幂的大小. 2 陶渊明曾说过:“勤学如春起之苗,不见其增,日有所长;辍学如磨刀之石,不见其损,日有所亏.”这句话告诉我们什么道理呢? 勤学如春起之苗, 不见其增,日有所长; 辍学如磨刀之石, 不见其损,日有所亏 3 假定现在获取的知识量是1,学习的知识按照每天1%的速度增长,那么,若干天后会怎样?一年后会怎样?怎么计算? 一天后是1.01,两天后是,三天后是,一年后是. 我们用变量x表示天数,那么你获取的知识量y与天数工之间的关系可以用一个什么样的式子来表示呢? . 假设知识的减少量也按照每天1%计算,将“辍学如磨刀之石,不见其损,日有所亏”翻译成数学的式子,得到什么? . 计算一下,一个月你减少了多少?一年后你还剩下多少? 一个月30天减少了,一年365天后还剩下. 4 《庄子 天下篇》中写道:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”怎样用一个函数来描述它? 答案:. 5 情景引入中的三个函数有何共同特征? 以上三个函数都可以写成的形式. 一般地,我们把形如()的函数叫作指数函数,其中是自变量,函数的定义域是R. 请同学们想一想,为何规定? 若则有些函数在实数范围内没有意义,比如,当此时函数为无意义;当a=1时,函数值永远都等于1,研究这样的固定不变量没有价值. 根据上面的特征,你能抽象、概括出这类函数的表达式吗? 6 如何讨论一个函数的性质,用什么方法?从什么角度? 华罗庚曾经说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休”,我们需要结合函数图象,利用数形结合法研究函数的性质. 指数函数的图象是怎样的?有怎样的性质呢? 首先让我们研究一下底数大于1的情形. 按照列表、描点、连线的步骤,借用所给的部分数据,先分别画出函数的图象,再把两个图象画在同一平面直角坐标系中进行比较. 先分析一个具体的指数函数. 列表、描点、连线,画出函数的图象 x -3 -2 -1 0 1 2 3 1 2 4 8 从图象可以看出: 函数的图象位于x轴的上方;从最左侧贴近x轴的位置逐渐上升,过点(0,1),继续上升,函数值越来越大,图象越来越陡,直至无穷. 由此得到函数的性质:函数在R上是增函数,且值域是(0,). 再分析函数.列表、描点﹑连线,画出函数的图象. x -2 -1 0 1 2 1 3 9 从图象可以看出: 函数的图象也是位于x轴的上方;从最左侧贴近x轴的位置逐渐上升,过点(0,1),继续上升,函数值越来越大,图象越来越陡,直至无穷. 由此得到函数的性质:函数y=3在R上是增函数,且值域是(0,+oo). 由此可见函数与的性质是完全一样的.在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象,可以看出: 在y轴左侧,函数的图象在函数的图象下方;在y轴右侧,函数的图象在函数的图象上方. 当时,指数函数的图象从左向右是怎样的趋势呢?是上升的还是下降的呢? 当底数时,指数函数的图象从左向右看是上升的,而且底数越大,图象在y轴右侧的部分就越靠近y轴. 对于函数和: 当时,;当时,; 当时,. 观察图象得出性质如下表: 的范围 定义域 (左、右无限延伸)R 值域 (在x轴上方)(0,) 图象上的点 都过定点(0,1),即当时, 单调性 (从左向右上升)在R上是增函数; 当x值趋近于正无穷大时,y值趋近于正无穷大; 当x值趋近于负无穷大时,y值趋近于0 指出下列函数中,哪些是指数函数? (1);(2); (3);(4); (5); (6);(7);(8). 指数函数必须()这种形式. 答案:(2)(6)是指数函数,其余均不满足()这种形式. 12 比较下列各题中两个值的大小; (1);(2),;(3),. 答案:(1)因为函数在R上是增函数,且0.80.7,所以; (2)因为函数在R上是增函数,且,所以; (3)因为函数在R上是增函数,且0.30,所以; 因为函数在R上是增函数,且<0,所以<;因此,. 根据指数函数的单调性进行比较. 13 (1)求使不等式成立的实数的集合;(2)已知方程,求实数的值. 解:(1)因为,所以原不等式可化为. 又函数在R上是增函数,所以,即, 因此,使不等式成立的实数的集合是( ). (2)因为,所以原方程可化为. 因为在R上是增函数,所以,即. 将题目中的数字转化成指数形式,再利用指数函数的性质进行计算. 14 某种细胞分裂时,由1个分裂为2个,2个分裂为4个一直分裂下去,请写出得到的细胞个数y与分裂次数之间的函数关系式. 解:分裂个数,为分裂次数. 若函数是指数函数