精品解析：福建省宁德市古田县第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷

2023—2024学年古田一中第二学期第一次月考 高二数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ） A. B. C. D. 2. 若函数在处导数等于，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则边上的中线的长是（ ） A. B. 2 C. D. 3 4. 设函数的图象与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 是空间不共面的四点，且满足，，，为中点，则的形状为（　　） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 6. 已知函数，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在边长为正三角形的三个角处各剪去一个四边形.这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①.若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②.则这个容器的容积的最大值为（ ） A B. C. D. 8. 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 11. 已知函数，恰好存在4个不同的正数，使得，则下列说法正确的是（ ） A B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，已知两点，，则____________ 13. 写出一个同时具有下列性质①②的函数：________. ①；②. 14. 设函数在处取得极值，且，当时，最大值记为，对于任意的的最小值为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平行六面体，，. （1）求的长度； （2）求异面直线与BC所成角的余弦值. 16. 已知函数，且． （1）求值； （2）设，求过点的切线方程． 17. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在内存在两个极值点，求实数a的取值范围． 18. 某中学为美化校园将一个半圆形边角地改造为花园．如图所示，为圆心，半径为千米，点、、都在半圆弧上，设，，其中． （1）若在花园内铺设一条参观的线路，由线段、、三部分组成，求当取何值时，参观的线路最长； （2）若在花园内的扇形和四边形内种满杜鹃花，求当取何值时，杜鹃花的种植总面积最大． 19. 若时，函数取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.已知函数，其中为正实数. （1）若函数有极值点，求的取值范围； （2）当和的几何平均数为，算术平均数为. ①判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明； ②当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年古田一中第二学期第一次月考 高二数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性可得结果. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为. 故选：B. 2. 若函数在处的导数等于，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答. 【详解】由已知得 ． 故选：D． 3. 若在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则边上的中线的长是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用中点坐标公式求出中点的坐标，根据空间两点间的距离公式即可得出中线长. 【详解】由图可知：，，， 由中点坐标公式可得的中点坐标为， 根据空间两点间距离公式得边上的中线的长为. 故选：C 4. 设函数的图象与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出点的坐标，再利