2024年九年级中考数学复习相似辅助线及模型

“A字”“８字”模型 在部分习题中没有现成模型就需要构造“A字”“８字”模型 适用范围：如果题目中有线段比例（或数量）关系，且已知线段和所求相关线段能放在“A字 或“8字”型相似三角形中,那么可借助比例线上的端点作平行线构造“A字”型或“8字”型 构造方法： 条件：∠B为△ABC和△BDE的公共角，AC与DE交于点F ①求算 1)辅助线1：如图①，过点C作CG//AB交DE于点G 结 论1:①△ECG∽△EBD;②△CGF∽△ADF 2)辅助线2：如图③，过点D作DG//AC交BC于点G 结 论2:①△BDC∽△BAC;②△DGE∽△FCE ②求算 1)辅助线3：如图②，过点D作DG//BC交AC于点G 结 论3：①△ADG∽△ABC;②△DGF∽△ECF 2)辅助线4:如图④，过点C作CG//DE交AB于点G 结 论4：①△ADF∽△ACC;②△BCG∽△BED 注：也可过点F作AB或BE的平行线构造相似三角形 模拟练习 1. 如图.在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，连接DE交AB于点F，且,求证：AD=EB. 2. 如图，在四边形ABCD中，点E是BC上一点，CE=BE，且∠BAE=90°，连接AC,若tanB=，求tan∠CAE的值. （两种方法解答） 3. 如图①,在平行四边形ABCD中点E是BC上一点，∠AEC=∠ACD. （1） 求证：AC2=BC·CE； （2） 如图②,将线段AB绕点A逆时针旋转至AC的延长线上，点B的对应点为点G,连接BG 延长AE交BG于点F,求证： 4. 如图,在矩形ABCD中,E为BC边的中点,DG⊥AE交AE于点F,交AB于点G，,AF=4。 （1） 求EF的长； （2） 连接CF,求CF的长 。 一线三等角型相似三角形 锐角钝角的一线三等角 条件：如图，两个三角形在同一直线同侧，点P在线段AB上，且∠1=∠2=∠3 结论：△ACP∽△BPD 条件：如图，两个三角形在同一直线异侧，点P在AB的延长线上，且∠1=∠2=∠3 结论：△ACP∽△BPD 直角的一线三等角 条件：如图，△A0B是直角三角形，直角顶点0在直线MN上 辅助线：分别过A，B两点作AC⊥MN于点C，BD⊥MN于点D 结 论：△AOC~△OBD 条 件：如图，∠MON=90°，A，B两点分别是OM，ON上的点，点P在∠MON的内部，连接OP 辅助线：分别过A,B两点作AC⊥OP于点C，BD⊥OP于点D。 结论：△AOC∽△ODB 模拟练习 1. 如图，在△ABC中，AB=AC，E，D分别是BC，AC上的点，且∠AED=∠B，求证：. 2. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，BC=2，点D为AC边上一点，且AD=2CD，连接BD，过点D作DE⊥BD交BC边于点E，求点E到AC的距离. 3. 如图，四边形 ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD=2,BC=3,过点D作DE⊥CD，且DE=2CD，连接AE，CE，求△ADE的面积. 4. 如图，在四边形 ABCD中，∠BAD=∠ACB=∠ACD=45°，DE//BC交AC于点E，ED=6，BC=4，求的值 5. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC，点E在对角线BD上，且AE=AB,EE⊥AE交CD延长线于点F.若EF=2AE，求证：DF=2CD. 6. 如图，在平面直角坐标系中，直线和，都垂直于x轴，垂足分别为A(1,0)，B(4,0)，反比例函数y=（k>0)的图象与直线和，分别相交于P，Q两点，连接PO,OQ,PQ.（若不使用相似还可以如何解答） 1)若∠PQO=90°，求k的值； 2)若∠OPQ=90°，求k的值. 7. 如图，在菱形 ABCD中，点E在对角线BD上，点F是AD边上一点，连接 BF，EF，∠A=∠BFE=120°，当时，求的值。 旋转型相似三角形 将“A”字模型下的小三角形绕顶点旋转一定角度 条件：如图，△ABC和△ADE共顶点A，且点D在AB上，点E在AC上， 辅助线：将△ADE绕点A逆时针旋转一定角度，连接BD，CE 结论：△ABD∽△ACE 模拟练习 1. 如图，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED，∠EAC=∠DAB，连接 BD，CE，求证：∠ACE=∠ABD. 2. 如图，在Rt△ACB和Rt△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=60°，AB=2AC，D是线段AB上一动点，连接 BE,求证：BE=AD. 3. 如图，在△ABC和△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，∠BAC=∠DAE=30°，O是BC的中点，连接EO并延长至点F，使得EO=OF，连接BF，BD，求的值. 4. 如图，在Rt△ABC中、∠CAB=90°，点D是线段AC左侧一点，连接AD，