7.1.2 全概率公式课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.1.2 全概率公式 一、知识回顾 1.计算条件概率的两个公式： 2.概率的乘法公式： P(AB)=P(A)P(B|A) 3.求条件概率有两种方法： 一种是基于样本空间Q，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件 概率公式求P(B|A)； 另一种是根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的 件后,样本空间缩小为A,求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的 概率. 一、知识回顾 4.条件概率的性质： 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概 率的性质设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)=1； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A); (3)设 和B互为对立事件,则P( |A)=1-P(B|A). 在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率.下面，再看一个求复杂事件概率的问题. 一、探究新知 从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为 ,那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢? 因为抽签具有公平性,所以第2次摸到红球的概率也应该是 但是这个结果并不显然,因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响．下面我们给出严格的推导. 用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1、2.如右图所示，事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即R2=R1R2∪B1R2.利用概率的加法公式和乘法公式，得 P(R2)=P(R1R2∪B1R2)=P(R1R2)+P(B1R2)=P(R1)P(R2|R1)+P(B1)P(R2|B1) 二、全概率公式 一般地，设A1、A2、…、An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪ …∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1、2、…、n，则对任意的事件B Ω，有 全概率公式是概率论中最基本的公式之一. 全概率公式： 例1 某学校有A、B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家 餐厅用餐. 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为 0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计 算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 三、精典例题 例2 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%， 第2、3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起. 已知第1、2、3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%， 45%. (1)任取一个零件,计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1，2，3)台车床 加工的概率. 三、精典例题 此例中P(Ai)、P(Ai|B)的实际意义是什么? P(Ai)是试验之前就已知的概率,它是第i台车床加工的零件所占的比例,称为先验概率.当已知抽到零件是次品(B发生),P(Ai|B) 是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率. 如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任,那么 就分别是第1、2、3台车床操作员应承担的份额. 将此例中的问题(2)一般化，可以得到贝叶斯公式. 四、贝叶斯公式 一般地，设A1、A2、…、An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪ …∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1、2、…、n，则对任意的事件B Ω，有 贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯（T. Bayes,1702—1761)发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系. 例3 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素 的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发 送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1 时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1 是等可能的. (1)分别求接收的信号为0和1的概率； (2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率. 五、精典例题 六、课堂小结 1.全概率公式： 2.概率的乘法公式： 一般地，设A1、A2、…、An是一组两两互斥的事件，A1∪A2 ∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1、2、…、n，则对任意的事件B Ω，有 一般地，设A1、A2、…、An是一组两两互斥的事件，A1∪A2 ∪…∪A