专题4.11 探索三角形全等的条件（ASA和AAS）（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.11 探索三角形全等的条件（ASA和AAS） （知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】三角形全等的条件——角边角 1. 角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”. 2.书写格式 在△ABC和△A’B’C’中，∠B=∠B’，BC=B’C’，∠C=∠C’， 所以△ABC≌△A’B’C’（ASA）. 特别提醒： 1.相等的元素：两角及两角的夹边；2.书写顺序：角→边→角；3.夹边为两个交的公共边. 【知识点二】三角形全等的条件——角角边 1. 角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”. 2. 书写格式 在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，BC=B’C’，∠B=∠B’， 所以△ABC≌△A’B’C’（AAS）. 1. “ASA”与”AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 “AAS”可由“ASA”结合三角形的内角和推导得出. AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后 特别提醒： 【考点目录】 【考点1】用ASA（或AAS）证明三角形全等； 【考点2】用三角形全等的性质和ASA（或AAS）证明三角形全等； 【考点3】添加条件证明三角形全等； 【考点4】灵活运用三角形全等判定方法和全等的性质证明或求值； 【考点5】“倍长中线”证明三角形全等求值； 【考点6】“一线三直角”证明三角形全等求值. 【考点1】用ASA（或AAS）证明三角形全等； 【例1】如图，已知四边形中，，，，，垂足为E，求证：． 【分析】本题考查三角形全等的判定，根据得到，结合， 得到，即可得到证明； 解：证明：∵， ∴， 又∵， ， ∴， 在和中， ∵， ． 【变式1】如图，和相交于O点，若，用证明还需增加条件（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对全等三角形的判定的应用．要用证明三角形全等，即角边角证明三角形全等，题目已知，，那么添加条件即可． 解：由题意可得：，， ∴当时，可根据可证， 故选：B． 【变式2】如图，，，，，则等于 ． 【答案】3； 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，根据得到，结合角边角判定即可得到答案； 解：∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 【考点2】用三角形全等的性质和ASA（或AAS）证明三角形全等； 【例2】如图所示，点是线段上一点，是过点的一条直线，连接，过点作交于，且． （1）求证： （2）若，求证：． 【分析】（1）根据，可得，证明可得； （2）可证明，根据，， ，，可证明，可得，进而可得． （1）解： 在和中 （2）解： 又 在和中 【点拨】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答关键． 【变式1】如图，是的平分线，于D，连接，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】题考查了全等三角形的性质和判定，三角形中线的性质，熟知等底等高的三角形的面积相等是解题的关键．如图所示，延长交于E，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，推出，代入求出答案即可． 解：如图所示，延长交于E， ∵是的平分线，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【变式2】如图，在四边形中，，过的中点O，分别交和于点E、F，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法，性质是解题的关键． 根据，可得，根据点是的中点，可得，可证，根据全等三角形的性质即可求解． 解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在中，， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点3】添加条件证明三角形全等； 【例3】如图，在中，，D是边上的点（不与点B，C重合），F，E分别是及其延长线上的点，． 请你添加一个条件，使（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明． （1）你添加的条件是： ； （2）证明： 【答案】（1）①（或点D是线段的中点）或②或③ ；（2）见分析 【分析】本题考查三角形全等的判定，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． （1）由已知可得，，根据三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：（或点D是线段的中点），②，③ ； （2）以为例进行证明，由已知可得，，可根据判定． （