7.3 离散型随机变量的数字特征习题课学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3 离散型随机变量的数字特征习题课 一、学习目标 课程标准 学科素养 1.理解离散型随机变量分布列的数字特征均值与方差; 2.能解决与离散型随机变量相关的数学问题中的均值与方差的求解问题. 3.能解决一些与平均水平与稳定性的简单问题与决策性问题. 1．数学抽象； 2．数学建模； 3．数学运算 二、知识剖析： 1. 离散随机变量的均值（数学期望） 概念 一般地，随机变量的概率分布列为 则称 为的数学期望或均值，简称为期望. 它是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了离散型随机变量取值的平均水平. 若 ，其中为常数，则也是变量 则 ，即(利用期望的概念可以证明) 2. 离散型随机变量取值的方差和标准差 （1）一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为 则称 为随机变量的方差，有时候也记为，并称为随机变量的标准差，记为。 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差越小，随机变量的取值越集中；方差越大，随机变量的取值越分散. 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么 即若服从两点分布，则 ，. 一般地，.(可用方差的概念证明) 证明: 3. 常用结论:若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数； (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)； (3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)； (4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2； (5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)； 三、合作探究、深度学习 学习目标一：求随机变量的均值与方差 例1 某品牌手机投放市场，每部手机可能发生按定价售出、打折后售出、没有售出而收回三种情况. 按定价售出每部利润100元，打折后售出每部利润0元，没有售出而收回每部利润元. 据市场分析，发生这三种情况的概率分别为0.6，0.3，. 求每部手机利润的均值和方差. 例2 现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张. 1张彩票中奖金额的均值是多少元？ 学习目标二：均值与方差性质的运用 例3 随机变量X的分布列为. 若，求和. 例4 在单项选择题中，每道题有四个选项，其中仅有一个选项正确. 如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25 . 请给选对和选错分别赋予合适的分值，使得随机选择时得分的均值为0. 学习目标三：均值与方差的综合运用 例5 有A和B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元. 规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道. 如果猜谜顺序由张某选择，他应该选择先猜哪一道谜语？ 例6 甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y(单位：s)，其分布列为 试比较甲、乙两种品牌手表的性能. 四、总结提升： 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 1.比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高. 2.在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定. 3.下结论.依据均值和方差做出结论. 五、当堂检测： 1. 证明：. 0 1 2. 已知X的分布列如下： (1) 求的分布列； (2) 计算的方差； (3) 若，求的均值和方差. 参考答案： 0 100 1. 设一部手机的利润为X元，则X的分布列为 . 2.设1张彩票的中奖金额为X元，则X的分布列为 0 2 10 50 100 1000 =2. 3. 由，得. 4. 设选对得分，选错得分，随机选择得分为X，则X的分布列为 . 令，得. 这个二元一次方程有无数个解，可选择其中任何一组解作为的值. 例如，. 5. 有两种猜谜顺序：(1)先猜A谜语，(2)先猜B谜语. 由于得到的奖金额是随机变量，应选择平均奖金额高的猜谜顺序. 设选择先猜A谜语得到的奖金为X元，先猜B谜语得到的奖金为Y元，则X和Y的分布列分别为 0 10 30 0 20 30 计算可得. 因为，所以应选