5.3.2 函数的极值 课件（第1课时）-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2函数的极值 （第1课时） 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a, b)上, 如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增; 在某个区间(a, b)上, 如果f'(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减. 1.函数的单调性与导数的关系： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 2.利用导数判断函数的单调性的步骤 复习引入 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 问题1：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？ 此点附近的函数图象有什么特点？ 相应地，导数的正负有什么变化规律? 问题探究 O a t h b 可以看出，；在t=a的附近， 当t<a时，函数 h(t)单调递增，； 当t>a时，函数 h(t)单调递减，. 在 t=a 附近，函数值先增后减. 这样当 t 在 a 的附近从小到大经过a时，先正后负，且连 续变化，于是有. 对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？ 以a，b为例进行说明. 问题2：观察下图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点处的导数值时多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？ （1）函数的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，而且在点附近的左侧，右侧; （2）函数的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，而且在点附近的左侧，右侧 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值; b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. 追问1.图中有那些极值点？ 追问3.极大值一定大于极小值吗？ 追问2.极大值与极小值唯一吗？ 例1 解： x (－∞, －2) －2 (－2, 2) 2 (2, ＋∞) f′(x) f(x) x y O -2 2 O a x0 b x y x x0左侧 x0 x0右侧 f′(x) f(x) O a x0 b x y x x0左侧 x0 x0右侧 f′(x) f(x) 增 f′(x) >0 f′(x) =0 f′(x) <0 极大值 减 f′(x) <0 f′(x) =0 增 减 极小值 f′(x) >0 左正右负为极大，左负右正为极小 左增右减为极大，左减右增为极小 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 问题思考 追问4：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 12 练习1.下图是导函数y=f′(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. a b x y x1 O x2 x3 x4 x5 x6 练习2 练习2 练习2 练习2 课堂小结 1.我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值; b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 一般地，求函数y＝fx的极值的步骤 1求出函数的定义域及导数f′x； 2解方程f′x＝0，得方程的根x0可能不止一个； 3用方程f′x＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′x，fx在每个区间内的变化情况列在同一个表格中； 4由f′x在各个开区间内的符号，判断fx在f′x＝0的各个根处的极值情况： 如果左正右负，那么函数fx在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么函数fx在这个根处取得极小值； 如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点. 不一定，如f (x)＝x3，f ′(0)＝0， 但x＝0不是f (x)＝x3的极值点． 所以，当f ′(x0)＝0时， 要判断x＝x0是否为f (x)的极值点， 还要看f ′(