1.1 等腰三角形 同步练习与讲义-2023-2024学年北师大版八年级数学下册

《第一章 三角形的证明1.1 等腰三角形》同步练习与讲义—北师大版2023-2024年八年级数学下学期 知识点： （－）等腰三角形的性质与判定 定理：等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 （二）等边三角形的性质与判定 定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. 等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. （二）直角三角形中，有一个30°的角的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半． 例题讲解： 1、 等腰、等边三角形的性质（角度） 例1：如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（　　） A．70° B．100° C．110° D．140° 变式训练1：若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（　　） A．70° B．45° C．35° D．50° 变式训练2：如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（　　） A．32° B．58° C．74° D．75° 变式训练3：如图，△ABC中，D点在BC上，且BD的中垂线与AB相交于E点，CD的中垂线与AC相交于F点，已知△ABC的三个内角皆不相等，根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确（　　） A．∠1＝∠3，∠2＝∠4 B．∠1＝∠3，∠2≠∠4 C．∠1≠∠3，∠2＝∠4 D．∠1≠∠3，∠2≠∠4 变式训练4：如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，EF过点O且EF∥BC． （1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数； （2）若∠BOC＝130°，∠1：∠2＝3：2，求∠ABC、∠ACB的度数． 例2：已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为（　　） A．14° B．16° C．24° D．26° 变式训练1：如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（　　） A．80° B．70° C．60° D．50° 变式训练2：如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，求∠ACE的度数． 变式训练3：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°． 二、 等腰、等边三角形的性质（边长、周长） 例3：四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 例4：若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 变式训练1：5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（　　） A．4m B．6m C．10m D．12m 变式训练2：若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 变式训练3：如图，在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成18和15两部分，则AC的长为　　． 变式训练4：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4cm，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，若DE＝6cm，EC＝1cm，则四边形ABFD的周长为　　cm． 变式训练5：一个等腰三角形的周长为28cm． （1）如果底边长是腰长的1.5倍，求这个等腰三角形的三边长； （2）如果一边长为10cm，求这个等腰三角形的另两边长． 例5：如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE，则AB＝（　　） A． B．6 C．8 D． 变式训练1：如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 变式训练2：如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P