数列的通项公式求法讲义-2024届高三数学二轮复习

数列通项及求和 与同时存在 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题中的 例：已知； 已知 角度3：等式中左侧含有： 作差法 (类似) 例子：已知求 前n项积 角度1：已知和的关系 角度1：用，得到 例子：的前项之积. 角度2：已知和的关系 角度1：用替换题目中 例子：已知数列的前n项积为，且. 【例1】(1)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式为an＝________． (2) 已知数列的前n项和为，且满足，，则的通项公式为_________． (3) 数列满足：，，则数列的通项公式___________. (4)记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知，则___________. 【变式训练】 1．已知数列的前项和为，若，，则有(     ) A．为等差数列 B．为等比数列 C．为等差数列 D．为等比数列 2．已知正项数列满足前项和满足.数列的通项公式 ． 3．已知各项为正的数列的前n项和为 ，满足 ，则的最小值为(　　) A．4 B．3 C．22 D． 4．数列的前n项和为，且，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为(        ) A． B． C． D． 5．已知数列满足，若数列为单调递增数列，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 6．已知数列的前n项和，设为数列的前n项和，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 7．已知数列的前项积为，且，则的通项公式为 ． 题型二：利用数列的递推关系求通项 由递推公式求通项公式的方法 方法 适用类型 要点 累加法 an＋1＝an＋f(n)，变形为an＋1－an＝f(n) 利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解 累乘法 an＋1＝f(n)an，变形为＝f(n) 利用恒等式an＝a1···…·(an≠0，n≥2，n∈N*)求解 待定系 数法 an＋1＝pan＋q(p≠0且p≠1，q≠0，n∈N*) 变形为an＋1＋t＝p(an＋t)(可用待定系数法求t)，可得以p为公比的等比数列{an＋t}的通项公式，进而可求an 取倒 数法 an＋1＝(p，q，r是常数) 变形为＝·＋ ①若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项； ②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解 赋值法 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n) 由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)，① 得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝f(n－1)(n≥2)，② 再由①－②可得an(注意对n＝1的情况进行讨论) 取对数 形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解． 类型一：累加法 【例2】已知数列满足：，，，则下列说法正确的是( ) A． B． C．数列的最小项为和 D．数列的最大项为和 【变式训练】 1．在数列{an}中，a1＝2，＝＋ln，则an等于(　　) A．2＋nln n B．2n＋(n－1)ln n C．2n＋nln n D．1＋n＋nln n 2．已知数列中，，，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值是(       ) A．2 B．3 C．4 D．5 类型二：累乘法 【例3】为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列，则的通项公式 ． 【变式训练】 1．已知数列中，，，则满足的n的最大值为(       ) A．3 B．5 C．7 D．9 2．设数列为正项数列，数列满足，，若表示不超过的最大整数，(例如，则　　 A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 3．数列满足，且(且），若的前项和为，则满足的最小正整数的值为 . 类型三：待定系数法 【例4】(1)若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________． (2)已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式为________． (3)在数列中，，且对任意的，都有，则数列{an}的通项公式为________． (4)设数列{an}满足a1=3，，则数列{a