数列求和（裂项相消法）讲义-2024届高三数学二轮复习

裂项相消 题型一：等差型 【例2】已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且(t＋1)Sn＝a＋3an＋2(t∈R)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1－bn＝an＋1，求数列的前n项和Tn． 【变式训练】 1．已知数列的各项均为正数，其前项和满足，数列满足. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围. 2．已知数列满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)证明：. 3．已知正项数列的前项和满足：，数列满足，且． (1)求的值及数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求． 4．已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，的前项和为，证明：. 5．设数列满足，数列的前项和为，且 (1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式； (2)设，若对任意正整数，当时，恒成立，求实数的取值范围. 6．已知等差数列满足，且，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)设，的前项和分别为，.若的公差为整数，且，求. 7．对数列，记为数列的前n项交替和； (1)若，求的前n项交替和； (2)若数列的前n项交替和为，求的前n项和． 8．已知正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求的取值范围. 类型二：等比型 【例3】数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练】 1．已知数列，，，，． (1)求证：数列是等比数列，并求数列的前n项和； (2)求数列的前n项和． 2．已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前项之积为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)设，若数列的前项和，证明：． 3．已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围. 类型三：放缩型 【例4】已知数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＝，a1＝1且n∈N*. (1)求{an}的通项公式； (2)设anbn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<(n∈N*)． 【变式训练】 1．在如图所示的平面四边形中，的面积是面积的两倍，又数列满足，当时，，记． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 2．已知各项均为正数的数列的前 项和为，且满足， (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)证明：对一切的正整数都有 【巩固练习】 1．已知正项数列的前项和为，，且，设，则数列前项和的取值范围为_________． 2．已知数列满足，其前项和，数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 3．已知数列与前项和分别为，，且，，，，则　 　． 4．已知数列满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)证明：. 5．已知数列的前项和为，. (1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式; (2)若 ，求数列的前项和. 从①和②这两个条件中任意选择一个填入上面横线上，并完成解答.注:若选择多个条件作答，则按第一个解答计分. 6．已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围. 7．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)证明：对一切正整数，有． 8．已知正项数列的前项和，满足：． (1)求数列的通项公式； (2)记，设数列的前项和为，求证． 9．已知等比数列的公比，若，且，，分别是等差数列第1，3，5项. (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)记，求的最大值和最小值. 10．设正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且1＋S，3,1－S成等差数列(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：－1<＋＋…＋≤－(n∈N*)． 11．设数列的前项和为，已知，且． (1)证明为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，且，证明； (3)在(2)的条件下，若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列求和 ——裂项相消 题型一：等差型 【例2】已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且(t＋1)Sn＝a＋3an＋2(t∈R)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1－bn＝an＋1，求数列的前n项和Tn． 解 (1)因为a1＝1，且