数列求和（分组求和法）讲义-2024届高三数学二轮复习

数列求和 类型一：分组求和 【例1】若数列的前项和满足()． (1)证明：数列为等比数列，并求； (2)若，()，求数列的前项和． 【变式训练】 1．已知数列中，，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围. 2．已知等差数列中，，，数列的前n项和为，且，． (1)求数列，的通项公式． (2)，为的前n项和，若恒成立，求λ的最大值． 3．已知数列满足，. (1)证明：数列为等比数列. (2)求数列的前n项和. 类型二：奇偶型 【例2】已知数列满足，，. (1)证明：是等比数列 (2)求数列的前2n项和. 【变式训练】 1．已知数列满足， (1)记，求证：为等比数列； (2)若，求. 2．已知数列满足：①；②.则的通项公式 ；设为的前项和，则 .(结果用指数幂表示) 3．已知数列满足，且的前100项和 (1)求的首项； (2)记，数列的前项和为，求证：. 4．已知数列满足：，且．设． (1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； (2)求数列的前2n项和． 【巩固练习】 1．已知数列的前n项和，且，数列满足，其中． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前20项和． 2．已知是各项均为正数的数列，为的前n项和，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 3．已知等差数列与等比数列的前项和分别为：，且满足：， (1)求数列的通项公式； (2)若求数列的前项的和. 4．已知数列的前n项和为，，且. (1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和. 5．数列满足，且. (1)求 的通项公式； (2)设，求数列的前项和； 6．已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 7．已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，. (1)求的通项公式; (2)求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 类型一：分组求和 【例1】若数列的前项和满足()． (1)证明：数列为等比数列，并求； (2)若，()，求数列的前项和． 【解析】(1)由题意可知，即； 当时，，即； ∴数列是首项为，公比为2的等比数列，∴． (2)由(1)可知当时，从而， 为偶数时，； 为奇数时， ， 综上，． 【变式训练】 1．已知数列中，，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围. 解析：(1)， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以. (2) ， 若对于恒成立，即， 可得即对于任意正整数恒成立， 所以，令，则， 所以，可得，所以，所以的取值范围为 2．已知等差数列中，，，数列的前n项和为，且，． (1)求数列，的通项公式． (2)，为的前n项和，若恒成立，求λ的最大值． 解析：(1)因为为等差数列，所以，得． 由，得．所以数列的公差， 所以．对于，①，当时，②， ①-②得，，即， 由题意可得，所以，所以对任意成立， 所以是首项为1、公比为2的等比数列，所以，． (2)由(1)得 ． 恒成立，等价于恒成立，化简得恒成立，即．设数列的通项公式为， 令，得，所以，又，，所以，，所以，所以λ的最大值为10． 3．已知数列满足，. (1)证明：数列为等比数列. (2)求数列的前n项和. 【解析】(1)证明：因为，， 所以， 所以数列是首项为4，公比为4的等比数列； (2)解：由(1)可得，即， 则 . 当n为偶数时，， 则 ， 当n为奇数时，则 ， 综上所述，. 类型二：奇偶型 【例2】已知数列满足，，. (1)证明：是等比数列 (2)求数列的前2n项和. 【详解】(1)证明：由已知可得，， . 又时，， 所以，数列是等比数列，首项，公比. (2)解：由(1)可知，. 则. 所以， . 所以. 【变式训练】 1．已知数列满足， (1)记，求证：为等比数列； (2)若，求. 【答案】(1)证明见解析;(2) 【详解】(1)证明：且 ， 又 ， 为以4为首项，2为公比的等比数列. (2)由(1)知：， ， 又， ， 所以 . 2．已知数列满足：①；②.则的通项公式 ；设为的前项和，则 .(结果用指数幂表示) 【答案】 【分析】当为奇数时令可得，当为偶数时令，可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出通项公式，再利用分组求和法计算可得. 【详解】当为奇数时，令，则， 当为偶数时，令，则， 则， 当时，