数列求和（错位相减法）讲义-2024届高三数学二轮复习

错位相减求和 【例】在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练】 1．已知等差数列中，公差，，是与的等比中项，设数列的前项和为，满足. (1)求数列与的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 2．已知数列的前n项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，记数列的前n项和为，若，对任意恒成立，求实数t的取值范围． 3．已知数列的前n项和为，，且. (1)求数列的通项； (2)设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 4．已知数列满足：，，，且；等比数列满足：，，，且． (1)求数列、的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若不等式对任意都成立，求实数的取值范围． 【巩固练习】 1．数列满足，． (1)设，求的最大项； (2)已知数列的前n项和为，若恒成立，求的范围． 2．已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，且，若对于恒成立，求的取值范围． 3．从条件①，②，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答. 已知数列的前项和为，___________. (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，是否存在正整数使得. 4．已知数列的前项和为，，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 5．在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 6．设数列的前项和为,且满足. (1)求数列的通项公式; (2)记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立,求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列求和 ——错位相减 【例】在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】(1)由题意可得：， 当时，可得， 则， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列. (2)由(1)可得：，则， 可得，则， 两式相减得：， 所以， 因为，则， 原题意等价于关于的不等式恒成立，可得， 构建， 令，则，解得或3， 则，即当或时，取到最大值， 可得，所以实数的取值范围. 【变式训练】 1．已知等差数列中，公差，，是与的等比中项，设数列的前项和为，满足. (1)求数列与的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【解析】(1)∵ 则，解得或(舍去) ∴. 又∵， 当时，，则， 当时，，则，即， 则数列是以首项，公比为的等比数列， ∴. (2)， ， 两式相减得： ∴ ∵对任意的恒成立，即对任意的恒成立 ①当是奇数时，任意的'恒成立 ∴对任意的恒成立 ②当是偶数时，对任意的恒成立 ∴对任意的恒成立 令，对任意的恒成立 ∴为递增数列 ①当是奇数时，则，即 ②当是偶数时，则 ∴. 2．已知数列的前n项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，记数列的前n项和为，若，对任意恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1)；；(2). 【详解】(1)当时，，解得， 当时，由有，两式相减可得， 即是以为首项，以为公比的等比数列， 所以． (2)由得， 所以， ， 两式相减得 ， 所以． 由，得， 即恒成立． 当时，，所以； 当时，不等式恒成立； 当时，，所以； 综上，． 3．已知数列的前n项和为，，且. (1)求数列的通项； (2)设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【详解】(1)当时，， ， 当时，由①， 得②，①②得 ， 又是首项为，公比为的等比数列， ； (2)由，得， 所以， ， 两式相减得 ， 所以，由得恒成立， 即恒成立，时不等式恒成立； 时，，得； 时，，得；所以. 4．已知数列满足：，，，且；等比数列满足：，，，且． (1)求数列、的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若不等式对任意都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)()，()，(2) (1)由两边同除得：，          两边同除得：，          则， 所以        ，() 所以，又符合， 故()， 由得：，解得：， 所以(). (2)∵， ∴        ① ∴  ② 由①-②得：，                           ∴