5.3.2函数的极值与最值（七大重难点题型精讲）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第二册）

5.3.2 函数的极值与最值 知识点一：极值与最值 1、函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 2、函数的最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 导函数为 （1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． （2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 【解题方法总结】 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 重难点题型一：求函数的极值与极值点 【例1】、（23-24高二下·陕西·开学考试）函数的极小值点为 ，极大值为 ． 【例2】、（22-23高二下·广东广州·阶段练习）函数的极大值为 . 【例3】、（2023·全国·模拟预测）函数在区间的极大值、极小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练1】、（2023高三·全国·专题练习）函数的极大值点和极大值分别为 ， 【变式训练2】、（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．函数极小值为-1 B．函数在上单调递增 C．当时，函数的最大值为 D．当时，方程恰有3个不等实根 【变式训练3】、（23-24高三下·山东济宁·开学考试）（多选题）已知函数，则（    ） A．有且只有一个极值点 B．在上单调递增 C．不存在实数，使得 D．有最小值 重难点题型二：求函数的最值 【例4】、（2024高二下·全国·专题练习）若函数在上的最小值为4，则 ． 【例5】、（2024·江西南昌·一模）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)求的最大值. 【变式训练5】、（22-23高二下·河南·期中）已知函数，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练6】、（23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）已知函数，． (1)若函数在点处的切线过原点，求实数a的值； (2)若，求函数在区间上的最大值． 重难点题型三：根据极值、极值点求参数 【例7】、（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数有极值，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【例8】、（2023·江西赣州·模拟预测）当时，函数取得极小值1，则 . 【变式训练7】、（22-23高二下·广西钦州·期末）已知函数在处取得极值5，则（    ） A． B． C．3 D．7 【变式训练8】、（22-2