5.3.1函数的单调性（五大重难点题型精讲）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第二册）

5.3.1 函数的单调性 知识点一：单调性基础问题 1、函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2、已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 知识点二：讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 【解题方法总结】 1、求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； （4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性． 注：①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数． ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减． 重难点题型一：求单调区间 例1、（23-24高二上·陕西西安·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 例2、（2023高三·全国·专题练习）已知函数,则函数的单调递减区间是 . 例3、（21-22高二上·陕西西安·期末）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 变式训练1、（23-24高二上·重庆·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 变式训练2、（2023高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的单调递增区间是______. 变式训练3、（22-23高二下·吉林长春·阶段练习）函数的单调递减区间为 . 重难点题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 例4、（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知上的可导函数的图像如图所示，则不等式的解集为 例5、（23-24高二上·江苏南京·期末）若定义在 上的函数 的图象如图所示，则函数 的增区间为（    ） A． B． C． D． 例6．（21-22高二下·安徽安庆·阶段练习）设是函数f(x)的导函数，的图象如图所示，则的解集是 . 变式训练4、（22-23高二下·北京·期中）若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   变式训练5、（23-24高二下·河南·开学考试）设是函数的导函数，则的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   变式训练6、（2024高二下·全国·专题练习）函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的 （　　）    A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递减 D．在上单调递