8.6空间直线、平面的垂直（四大重难点题型精讲）-【冲刺满分】2023-2024学年高一数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019必修第二册）

8.6 空间直线、平面的垂直 知识点一 直线与平面垂直的判定 1．直线与平面垂直 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 2.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 知识点二 直线与平面垂直性质定理的应用 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线 知识点三 平面与平面垂直的判定 1．平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)画法： (3)记作：α⊥β. (4)判定定理： 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 知识点四 平面与平面垂直性质定理的应用 平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 ⇒a⊥β 图形语言 作用 ①面面垂直⇒线面垂直 ②作面的垂线 知识点五 线线、线面、面面垂直的综合应用 垂直问题转化关系如下所示： 重难点题型突破1 线面垂直的性质定理及应用 例1．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）垂直于同一直线的两个平面（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面 例2．（23-24高三下·重庆·开学考试）已知是空间中三条互不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．，则 B．且，则 C．，则 D．，则 变式训练1、（2024·广东深圳·模拟预测）（多选题）已知m、n为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 变式训练2、（2024高三·全国·专题练习）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列说法： ①若，且，则； ②若，且，则且； ③若，，则．其中正确的是 ． 重难点题型突破2 线面垂直的判定定理及应用 例2．（2022高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为等边三角形，点E，F分别是棱的中点，且．    (1)求证：平面; (2)若M是棱上一点，且三棱锥的体积是三棱锥体积的2倍，求的值． 例2．（22-23高二下·新疆喀什·期末）如图，在四棱锥中，平面，，. (1)求证：平面； (2)若，求点C到平面的距离. 变式训练3、（22-23高三下·全国·阶段练习）如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形，．    (1)证明：BD平面； (2)求点C到面PBD的距离． 变式训练4、（23-24高二上·上海闵行·期末）已知四棱锥，底面为正方形，边长为3，平面. (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角大小. 重难点题型突破3 面面垂直的性质定理及应用 例5．（23-24高三下·北京西城·开学考试）在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体.小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断，其中不正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 例6．（23-24高三下·山西·阶段练习）（多选题）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则（    ） A． B．在棱上存在点，使得平面 C．平面与平面的交线平行于平面 D．到平面的距离为 例7．（23-24高三上·河南焦作·期末）（多选题）已知正三棱台中，的面积为，的面积为，，棱的中点为，则（    ） A．该三棱台的侧面积为 B．该三棱台的高为 C．平面 D．二面角的余弦值为 变式训练5、（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）已知直线为异面直线，为不重合的两个平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 变式训练6、（23-24高三下·江西·开学考试）设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式训练7、（2024·河北·一模）（多选题）如图，在圆柱中，轴截面ABC