8.4空间点、直线、平面之间的位置关系（五大重难点题型精讲）-【冲刺满分】2023-2024学年高一数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019必修第二册）

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点一 平面的基本性质 基本事实 内容 图形 符号 基本事实1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l 推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 考点二 点共线、线共点问题 平面的基本性质 基本事实 内容 图形 符号 基本事实1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l 知识点三 空间中两条直线的位置关系 1．异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线． (2)异面直线的画法： ①　　　　　　② 2．空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 知识点四 空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 知识点五 平面与平面位置关系的判定 两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 重难点题型一：直线与直线的位置关系 例1、（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）下列命题中，真命题有（    ） ①如果两条相交直线与另外两条相交直线分别平行，那么这两条相交直线和另外两条相交直线所成的锐角或直角相等； ②如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ③分别在两个不同的平面内且没有公共点的直线互相平行； ④，若，，则或. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2、（23-24高二上·上海·期末）如图，在正四棱柱中，分别是棱的中点，直线过点． ①存在唯一的直线与直线和直线都相交； ②存在唯一的直线与直线和直线所成的角都是； ③存在唯一的直线与直线和直线都垂直； 以上三个命题中，所有真命题的序号是 . 【变式训练1】、（23-24高二上·云南玉溪·期末）（多选题）在正方体中，E，F分别是线段BC，的中点，则（    ） A． B． C．异面直线，EF所成角的正切值为 D．异面直线，EF所成角的正切值为 【变式训练2】、（23-24高二上·山东青岛·期末）正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 重难点题型二：直线与平面的位置关系 例3．（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）以下说法错误的是 . ①空间中三点确定一个平面 ②一条直线及一个点确定一个平面 ③两条直线确定一个平面 ④如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等. 例4．（23-24高二上·上海青浦·期末）若一直线上有两点到一个平面的距离都等于1，则该直线与这个平面的位置关系是（    ）． A．直线在平面内 B．直线与平面相交或平行 C．直线与平面相交 D．直线平行平面 例5．（23-24高三上·湖北·期末）（多选题）如图，某工艺品是一个多面体，点两两互相垂直，且位于平面的异侧，则下列命题正确的有（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当点为的中点时，线段的最小值为 C．工艺品的体积为 D．工艺品可以完全内置于表面积为的球内 【变式训练4】、（22-23高一下·浙江·期中）若直线不平行平面，则以下命题成立的是 . ①内的所有直线都与异面； ②内不存在与平行的直线； ③内直线都与相交； ④直线与平面有公共点. 【变式训练5】、（2023高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（   ） A．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的