8.3简单几何体的表面积与体积（四大重难点题型精讲）-【冲刺满分】2023-2024学年高一数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019必修第二册）

8.3 简单几何体的表面积与体积 考点一、空间几何体的表面积 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念 棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体,它们的表面积就是各个面的面积之 ,因此,我们可以把多面体展开成平面图形,利用平面图形求面积的方法求多面体的表面积. 2．棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）侧面积：棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是由若干个 、 、 所组成的.侧面展开图的面积称为几何体的侧面面积（即侧面积）.由此可知，棱柱、棱锥、棱台的侧面积就是它们的各个侧面的面积之和. （2）表面积：棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有 和 展开后形成的一个平面图形，因而平面展开图的面积就是它们的表面积.可见，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些几何体的各个平面的面积之和，也可表示为： ，，. 3．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面面积 （1）直棱柱的侧面积：把直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)沿一条侧棱剪开后，得到的侧面展开图是一个矩形.如图(1)所示，则直棱柱的侧面面积为 (c为底面周长，h为侧棱长). （2）正棱锥的侧面积：正棱锥(底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面的中心)的侧面展开图是几个全等的等腰三角形.如图(2)所示，则正棱锥的侧面面积为 (c为底面周长，h′为斜高,即侧面等腰三角形底边上的高). （3）正棱台的侧面积：正棱台(由正棱锥截得)的侧面展开图是几个全等的等腰梯形.如图(3)所示，则正棱台的侧面面积为 (c′，c分别为上、下底面周长，h′为斜高,即侧面等腰梯形的高). 4．圆柱、圆锥、圆台的侧面面积 圆柱（底面半径为r，母线长为l） 圆锥（底面半径为r，母线长为l） 圆台（上、下底面半径分别为r′,r,母线长为l） 侧面展开图 底面面积 S底=_____ S底=πr2 S上底=πr′2，S下底=πr2 侧面面积 S侧=2πrl S侧=_____ S侧=πl(r′+r) 表面积 S表=2πr(r+l) S表=πr(r+l) S表=____________ 考点二、空间几何体的体积 1．柱体、椎体、台体的高 （1）棱柱（圆柱）的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.圆柱的 即圆柱的高. （2）棱锥（圆锥）的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离. （3）棱台（圆台）的高是指两个 之间的距离. 2．柱体、锥体、台体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体= (S为底面面积，h为高),V圆柱=πr2h(r为底面半径，h为高) 锥体 V锥体=Sh(S为底面面积，h为高)，V圆锥= (r为底面半径，h为高) 台体 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， V圆台=πh(r′2+r′r+r2)(r′、r分别为上、下底面半径，h为高) 考点三、组合图的表面积与体积 求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减. 求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. 重难点题型一：求空间几何的表面积 例1．（2024·四川成都·二模）某圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 例2．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是 ． 例3．（2024·河南·模拟预测）已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（    ） A． B． C． D． 变式训练1、（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知四面体，是边长为6的正三角形，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式训练2、（23-24高三上·江西·期末）如果等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的体积是，那么它的侧面积等于 . 变式训练3、（23-24高三下·广东·阶段练习）如图是一个正四棱台，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2和6，体积为，则侧面积为 ． 重难点题型二：求空间几何的体积 例4．（2024·全国·模拟预测）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则 ． 例5．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为5，弧长为的