专题06 复数（七大题型，重难点突破）-【课后优辅导】2024年春季高一数学下学期精品讲义（人教A版2019）

专题6 复数 知识点一、复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 3、复数的三角形式 （1）复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． （2）辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． （3）三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． （4）复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． （5）复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即． 重难点题型一：复数的概念 例1．（2024上·云南大理·高二统考期末）已知复数，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 、 例2．（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）已知复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1或6 C． D．1 例3．（2023·上海崇明·统考一模）若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为 ． 例4．（2023上·北京海淀·高三中央民族大学附属中学校考阶段练习）复数的虚部是（    ） A．1 B． C．3 D． 重难点题型二：复数的加法与减法 例5．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考期末）复数，，其中，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C．6 D．7 例6.（2023下·西藏林芝·高二校考期末）若复数，则 （    ） A． B． C． D． 例7.（2023下·四川成都·高二校联考期中） . 例8.（2023·北京·高三统考学业考试）已知复数，，则 ． 重难点题型三：复数的乘法与除法 例9．（2024下·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考开学考试）已知复数，则为（    ） A．i B． C．7 D．1 例10．（2024下·陕西安康·高三统考开学考试）已知复数，则 （     ） A． B． C． D． 例11．（2024上·天津·高三校联考期末）设，则的共轭复数为 ． 例12．（2024·浙江台州·统考一模）若（为虚数单位），则 ． 重难点题型四：复数的几何意义 例13．（2023下·湖南邵阳·高一统考期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例14．（2024下·安徽·高三校联考阶段练习）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例15．（2022下·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例16．（2023下·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）若复数z满足，则z的虚部是 重难点题型五：复数的共轭复数 例17．（2022上·河南·高三专题练习）设，则（    ） A． B． C． D． 例18．16．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）设为虚数单位，且，则（   ） A． B． C． D． 例19．（20