专题4-1 三角形中线段与面积的相关计算（9大题型）- 2023-2024学年七年级数学下册模型·方法·技巧专题突破（北师大版）

2023-2024学年七年级数学下册模型·方法·技巧专题突破 专题4-1 三角形中线段与面积的相关计算（9大题型） 知识点与方法技巧梳理： 1 题型一 三角形的基本概念与性质 2 题型二 三角形三边关系的应用 6 题型三 等腰三角形边长计算中的分类讨论问题（常考题） 8 题型四 利用三角形三边关系去绝对值符号 10 题型五 三角形三边与完全平方公式的配凑 11 题型六 中线将周长分成两部分（中档题） 13 题型七 证明三角形中线段的不等关系 16 题型八 三角形的面积关系 17 题型九 比例端点与面积比之间的转化（难点） 19 知识点与方法技巧梳理： 1、三角形的三边关系 1．三角形有三条边、三个内角和三个顶点．“三角形”可以用符号“△”表示，如“△ABC”．△ABC的三边，有时也用a、b、c来表示． 2．有两边相等的三角形叫做等腰三角形，如图．三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形． 3．线段公理：在连接两点所有的线中，线段最短： 4．三角形三边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 5．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心；三角形的三条角平分线交于一点，这点称为三角形的内心；三角形的三条高所在的直线交于一点，这点称为三角形的垂心． 2、三角形的面积关系 1．等底等高的两个三角形的面积相等． 2．两个三角形的高相等，面积之比等于底之比． 3．两个三角形的底相等，面积之比等于高之比． 4．夹在两条平行线间的两个共底的三角形的面积相等． 5．燕尾模型：如图，S△ABG∶S△ACG ＝S△BGE∶S△CGE ＝BE∶CE；S△ABG∶S△CBG ＝S△AGF∶S△CGF ＝AF∶CF；S△ACG∶S△BCG ＝S△AGD∶S△BGD ＝AD∶BD． A B E C G D F 题型一 三角形的基本概念与性质 1、三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2、三角形的分类 按边分类：三角形 按角分类：三角形 3、三角形的稳定性：当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中. 4、三角形的角平分线、中线和高 （1） 从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【例题讲解】 1． 如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（　　） A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形 B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形 C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形 D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形 2． 现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（　　） A．3 B．4或5 C．6或7 D．8 3． 下列生活中的一些事实运用了“三角形稳定性”的是（　　） A． B． C． D． 4． 下列说法中，正确的个数是（　　） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点． A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习】 5． 如图，以AB为边的三角形的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6． 列说法正确的有（　　） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两边相等； ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． A．①② B．①③④ C．③④ D．①②④ 7． 下列图形中，不具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 8． 下列判断错误的是（　　） A．三角形的三条高的交点在三角形内 B．三角形的三条中线交于三角形内一点 C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点 D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点 题型二 三角形三边关系的应用 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 在运用三角形三边关