专题6-1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（8类题型）- 2023-2024学年高二数学人教A版2019必修第三册重难点专题突破

2023-2024学年高二下·人教A版必修第三册·重难点专题突破 专题6-1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（8类题型） 总览 题型解读 模块一 基础题型与知识点 【题型1】分类加法计数原理与分步乘法计数原理的辨析 1 【题型2】分类加法计数原理的应用 3 【题型3】 分步乘法计数原理的应用 4 模块二 重点题型 【题型4】两个原理的综合应用 6 【题型5】有限制条件的方案设计 9 【题型6】数字排列问题 11 【题型7】涂色问题 14 【题型8】顶针法和列举法 20 模块一 基础题型与知识点 【题型1】分类加法计数原理与分步乘法计数原理的辨析 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的辨析 (1)联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关完成一件事的不同方法的种数问题. (2)区别:分类加法计数原理每次得到的都是最后结果，而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果，具体区别如下表： 区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 ① 针对的是“分类”问题 针对的是“分步”问题 ② 各种方法相互独立 各个步骤中的方法互相依存 ③ 用其中任何一种方法都可以完成这件事 只有各个步骤都完成才算完成这件事 1． 判断下列各事件哪些是运用分类计数原理计数　 　． （1）一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书，从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ （2）一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放，有2本不同的英语书；从书架上任取三本书，其中数学书，语文书，英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，假定火车每日1班，汽车每日3班，轮船每日2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法？ 【巩固练习】判断正误 （1）在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．( ) （2）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( ) 【题型2】分类加法计数原理的应用 分类加法计数原理（也称加法原理） 1、分类加法计数原理： 完成一件事，有类办法．在第1类办法中有种不同方法，在第2类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 2、加法原理的特点是： ①完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类； ②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事； ③把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点诠释： 使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和． 2． 从名女同学和名男同学中任选人主持本班的某次专题班会，则不同的选法种数为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】从名女同学和名男同学中任选人主持本班的某次专题班会，则不同的选法种数为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是（    ） A．18 B．36 C．72 D．48 【题型3】 分步乘法计数原理的应用 分步乘法计数原理 1、分步乘法计数原理 “做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成． 2、乘法原理的特点： ①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可； ②完成每一步有若干种方法； ③把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点诠释： 使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积． 3． 2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（    ） A．12种 B．24种 C．64种 D．81种 【巩固练习1】把3个不同的小球放入4个不同的盒子中，共有（    ）种方法. A．81 B．64 C．12 D．7 【巩固练习2】用这五个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（    ） A．18 B．24 C．30 D．48 【巩固练习3】（高二下·浙江·期末）“祝你考出好成绩”这句话，如图所示形式排列，从“祝”字读起，只允许逐字沿水平向右或竖直向下方向读，则读完整句话的不同读法共有（    ）种． 祝你考出好成绩 你考出好成绩 考出好成绩 出好成绩 好成绩 成绩 绩 A．15 B．32 C．64 D．128 模块二 重点题型 【题型4】两个