27.4正多边形和圆课件 2023—2024学年华东师大版数学九年级下册

27.4 正多边形和圆 第27章 圆 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 正多边形 正多边形的有关计算 正多边形的画法 学习目标 知识点 正多边形 知1－讲 1 1. 正多边形 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形. 特别解读 “各边相等，各角相等”是正多边形的两个基本特征，当边数n>3时，二者必须同时具备，缺一不可，否则多边形就不是正多边形. 感悟新知 知1－讲 2. 圆的内接正n 边形 把圆分成n(n ≥ 3)等份，依次连结各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n 边形，这个圆就是这个正n 边形的外接圆. 感悟新知 知1－讲 3. 正多边形的有关概念 (1)正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. (2)正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径. (3)正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. (4)正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 感悟新知 知1－讲 4. 正多边形的对称性 任意多边形(边数大于3)不一定有外接圆和内切圆，但当多边形是正多边形时，一定有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆. 感悟新知 拓宽视野 1. 任意三角形都有外接圆和内切圆，但是只有正三角形的外接圆和内切圆是同心圆. 2. 所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴. n为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 知1－讲 感悟新知 知1－练 例 1 如图27.4-1，三角形AOB 是正三角形，以点O 为圆心，OA 为半径作⊙ O，直径FC ∥ AB，AO，BO 的延长线交⊙ O 于点D，E，求证：六边形ABCDEF为⊙O 的内接正六边形. 解题秘方：紧扣正多边形的定义，结合同圆中弦、弧、圆心角的关系证明. 感悟新知 知1－练 证明：∵三角形AOB 是正三角形， ∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°，OB=OA. ∴点B 在⊙ O 上. ∵ FC ∥ AB， ∴∠ FOA= ∠ OAB=60°，∠ COB= ∠ OBA=60°. ∴ ∠ AOB= ∠ BOC= ∠ COD= ∠ DOE= ∠ EOF= ∠ FOA=60° .∴AB = BC = CD = DE = EF = FA . ∴六边形ABCDEF 为⊙O的内接正六边形 . ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 感悟新知 知1－练 解法提醒：证明一个多边形是圆内接正多边形的方法 1. 利用正多边形的定义，证明圆内接多边形的每个内角相等，每条边相等；2. 证明圆内接多边形各边所对的弧相等，即证明这个多边形的各顶点等分这个圆. 感悟新知 知1－练 1-1. 下列图形：(1)正三角形；(2)正方形；(3)正五边形；(4)正六边形；(5)线段；(6)圆；(7)菱形；(8)平行四边形. 其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是______________(填序号) (2)(4)(5)(6)(7) 感悟新知 知1－练 1-2. 若一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，则这个四边形一定是( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 不能确定 C 感悟新知 知2－讲 知识点 正多边形的有关计算 2 1. 正n 边形的每个内角都等于 . 2. 正n 边形的每个中心角都等于 . 3. 正n 边形的每个外角都等于. 感悟新知 知2－讲 4. 设正n 边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则： (1)半径、边长、边心距的关系为R2=r2+2； (2)周长l=na； (3)面积S=ar·n=lr. 感悟新知 知2－讲 特别提醒 常见的正多边形的边长与半径的关系： 1. 正六边形的边长等于其外接圆半径. 2. 正三角形的边长等于其外接圆半径的 倍. 3. 正方形的边长等于其外接圆半径的倍. 感悟新知 知2－练 已知正六边形ABCDEF 的半径为6，求这个正六边形 的边长a6，周长l6 和面积S6. 例 2 解题秘方：巧用正六边形的边长、半径和边心距的关系进行计算 . 感悟新知 知2－练 解：如图27.4-2，设正六边形ABCDEF的中心为点O，过点O 作OG ⊥ AB 于点G，连结OA，OB. 感悟新知 知2－练 ∵∠ AOB= =60°，OA=OB， ∴∠ AOG=30°，AG=BG.. ∴ AG= AO=3. ∴ a6=AB=2AG=6. ∴ l6=6a6=6×6=36. 在Rt △ AOG 中，OG= = =3 ， ∴ S6=AB·OG·6=×6×3×6=54. 感悟新知 知2－练 解法技巧：构造特殊三角形解正多边形的方法 在解决有关正六边形和正方形的问题时，我们往往作相邻的两条半径使其与边