7.4 二项分布与超几何分布-2023-2024学年高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第三册）

7.4：二项分布与超几何分布 【考点梳理】 考点一：利用二项分布求分布列 考点二：二项分布的概率最大问题 考点三;二项分布的均值问题 考点四：建立二项分布解决实际问题 考点五:超几何分布的均值和方差 考点六:超几何分布的方差 考点七：二项分布和超几何分布的综合 【知识梳理】 知识点一：n重伯努利试验及其特征 1．n重伯努利试验的概念 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次．(2)各次试验的结果相互独立． 知识点二：二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 知识点三：二项分布的均值与方差 若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 知识点四：超几何分布 1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2．均值：E(X)＝. 【题型归纳】 题型一：利用二项分布求分布列 1．（22-23高二下·重庆·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·山东德州·期末）已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次．记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的期望值为B，则A，B的值分别为（    ） A．，5 B．，10 C．，5 D．，10 3．（21-22高二下·福建福州·期末）为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一轮中有4件产品，记一箱产品获利X元，则等于（     ） A． B． C． D． 题型二：二项分布的概率最大问题 4．（22-23高二下·福建漳州·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．7.7 C．8.4 D．9.1 5．（22-23高二下·上海浦东新·期末）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1，2，3，4，5 B． C．的概率最大 D．服从超几何分布 6．（21-22高二下·山东枣庄·期末）某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型三：二项分布的均值问题 7．（22-23高二下·河北承德·期末）已知，则（    ） A．12 B．9 C．6 D．4 8．（22-23高二下·辽宁沈阳·期末）已知随机变量，若，，则（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高二下·广东肇庆·期末）某次数学测验共有10道单选题（四个选项中只有一项是正确的），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 题型四：建立二项分布解决实际问题 10．（23-24高三上·广东）甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为P，且每次投篮相互独立，经商定共设定5个投篮点，每个投篮点投球一次，确立的比赛规则如下：甲分别在5个投篮点投球，且每投中一次可获得1分；乙按约定的投篮点顺序依次投球，如投中可继续进行下一次投篮，如没有投中，投篮中止，且每投中一次可获得2分.按累计得分高低确定胜负． (1)若乙得6分的概率，求； (2)由（1）问中求得的值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？ 11．（22-23高二下·河南商丘·期末）某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛．每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响、每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束．已知甲同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章． (1)记甲同学在一轮比赛中答对的题目数为，请写出的分布列，并求； (2)若甲同学进行了4轮答题，