数列放缩　讲义——2024届高三数学二轮专题复习

数列放缩 题型一：放缩成错位相减，一般分成等差不符合或者等比不符合二种情况. 【例题1】已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记. （i）证明是等比数列； （ii）证明 解答：因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以，所以，； 设等比数列的公比为，，解得（舍去），故； （II）（i）由题意，，所以， 所以，且，所以数列是等比数列； （ii）由题意知，， 所以， 所以， 设，则， 两式相减得， 所以，所以. 点拨：本题属于等差不符合的情况，需利用简单的放缩去掉根号，得到符合错位相减求和的通项形式. 变式1:已知数列的前n项和，数列满足：，． (1)证明：是等比数列； (2)设数列的前项和为，且 ，求 (3)设数列满足：．证明：． 变式2:已知数列是等差数列，其前n项和为，，；数列的前n项和为，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)求证；. 类型二：放缩成等比求和（经常与糖水不等式结合，也常用裂项进行放缩） 【例题2】已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，（）. (1)求，的通项公式； (2)求证：（）. 解答：(1)由题意知： 故 ， (2)方法一：放缩成等比 故当时，显然成立； 当时， 方法二：放缩成裂项 当时，显然成立； 当时， 变式1：已知等差数列与等比数列满足，，，且既是和的等差中项，又是其等比中项. (1)求数列和的通项公式； (2)记，其中，求数列的前项和； (3)令，求证：. 变式2：记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且. (1)求的通项公式，并证明数列是等比数列； (2)求证：对于任意正整数，. 类型三：放缩成裂项 例1：已知数列的前项和为，，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项． (1)求数列与数列的通项公式； (2)求证：． 解答：(1)易知， 当时，显然成立； 当时，显然成立； 当时， 变式1：已知数列是等比数列，其前项和为，数列是等差数列，满足，， (1)求数列和的通项公式； (2)记，求； (3)证明：． 变式2：已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，. (1)求，的通项公式； (2)求证：. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$