专题01常考的规律探究问题（2大模型+解题技巧）-2024年中考数学答题技巧与模板构建（全国通用）

专题01 常考的规律探究问题 题型解读｜模型构建｜通关试练 模型01 数与式、图形的规律问题 数式规律和图形规律探究问题的特点是：问题的结论不是直接给出，而是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境等，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论. 模型02 平面直角坐标系中的规律问题 （旋转、平移、翻滚、渐变等） 平面直角坐标系中的规律探究问题由于问题背景的不同，这类题的解题策略是：由特例观察、分析、归纳一般规律，然后利用规律解决问题.具体思维过程是“特殊---一般----特殊”.这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求. 模型01 数与式、图形的规律问题 考｜向｜预｜测 数与式、图形的规律问题该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，需要学生学会分析各式或图形中的“变”与“不变”的规律——重点分析“怎样变”，应结合各式或图形的序号进行前后对比分析.主要考查学生阅读理解、观察图形的变化规律的能力，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，利用规律解决问题． 答｜题｜技｜巧 第一步： 读懂题意，标序号； 第二步： 根据已有规律模仿或归纳推导隐藏规律，析各式或图形中的“变”与“不变”的规律——重点分析“怎样变”； 第三步： 猜想规律与 “序号”之间的对应关系，并用关于 “序号”的式子表示出来； 第四步： 验证所归纳的结论，利用所学数学知识解答 例1．（2023·湖南）观察下列按顺序排列的等式：，试猜想第n个等式（n为正整数）：an= ． 【答案】． 【详解】根据题意可知， ∴． 例2．（2023·安徽）（规律探究）如下图，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第（2）个图比第(1)个图多一层，第（3）个图比第（2）个图多一层，依次类推. (1)第（9）个图中阴影三角形的个数为 ；非阴影三角形的个数为 ． (2)第个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441∶43，求. (3)能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能，请指出是第几个图形，如果不能说明理由. 【详解】（1）第（1）（2）（3）个图中阴影部分小三角形的个数分别是：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，由此可推测第（9）个图中阴影部分小三角形的个数是(9+1)2=102=100（个），空白三角形的个数为2×（9＋2-1=21）; 故答案为：100；21； （2）第n个图形中阴影三角形与非阴影三角形的个数比是：=， 解得，或（舍去） 经检验，符合要求， 所以，； （3）设第（m）个图形可重新拼成一个菱形，第（m）个图形总的三角形个数为,     由于可以拼一个菱形，则是一含有60度角的菱形，即两个等边三角形构成的菱形，每个等边三角形中含小三角形数为x2,则有： 解得， ∴m不是正整数， ∴不可能拼成一个菱形． 例3．（2023·江西）规律探究与猜想： ①方程的解为，； ②方程的解为，； ③方程的解为，； ④方程的解为，； …… (1)根据以上各方程及其解的特征，请解答下列问题： ①方程的解为______． ②第个方程为______，其解为______． (2)请用公式法解方程，验证猜想结论的正确性． 【详解】（1）解： 方程，解为，； 方程，解为，； 方程，解为，； ①， 解为； ②第个方程为 ∴第个方程为，解为． （2）解： ， ∴． 故结论正确． 模型02 平面直角坐标系中的规律问题 考｜向｜预｜测 平面直角坐标系中的规律问题 （旋转、平移、翻滚、渐变等）该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一般的规律（如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等）.主要考查对点的坐标变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运算. 答｜题｜技｜巧 第一步： 观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律求出已知关键点的坐标； 第二步： 分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性（如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等） 第三步： 周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变化次数或者运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与哪个关键点的横纵坐标相等； 第四步： 利用有理数的运算解题 旋转型 例1．（2023·四川）如图所示，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第2025秒时