特色题型专练04 新定义-备战2024年中考数学考试易错题（江苏专用）

中考特色题型专练之新定义 几何篇 题型一、与三角形结合 1．问题背景 定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，且，则与是关于的互补三角形． (1)初步思考：如图2，在中，，D、E为外两点，，为等边三角形．则关于的互补三角形是______，并说明理由． (2)实践应用：如图3，在长方形中，．点E在边上，点F在边上，若与是关于互补三角形，试求的长． (3)思维探究：如图4，在长方形中，．点E是线段上的动点，点P是平面内一点，与是关于的互补三角形，直线与直线交于点F．在点E运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由． 2．定义：用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边的“幸福线”．如图1，为的截线，截得四边形，若，则称为边的“幸福线”． (1)已知为边的“幸福线”，，，，求的长； (2)如图2，若内接于，为弧的中点，、分别为、边的“幸福线"，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，如图3过点作的“幸福线”交于点，当四边形面积最大时，求的正切值． 3．【概念认识】 定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． 【概念运用】 （1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，，两点均在格点上，线段上的8个格点中，是，两点的勾股点的有 　 　个． （2）如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． 【拓展提升】 （3）如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当是任意两个顶点的强勾股点时，直接写出的长． 题型二、与四边形结合 1．在平面直角坐标系中，将中心为的正方形记作正方形，对于正方形和点（不与重合）给出如下定义：若正方形的边上存在点，使得直线与以为半径的相切于点，则称点为正方形的“伴随切点”． (1)如图，正方形T的顶点分别为点O，． ①在点中，正方形的“伴随切点”是_______； ②若直线上存在正方形的“伴随切点”，求b的取值范围； (2)已知点，正方形的边长为．若存在正方形的两个“伴随切点”，，使得为等边三角形，直接写出的取值范围． 2．定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．    【概念理解】如图②，在四边形中，如果，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 【性质探究】如图①，垂美四边形两组对边与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 【问题解决】如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接．若，，则直接写出的值． 3．对于平面直角坐标系中的点P和矩形M．给出如下定义：若矩形 M各边分别与坐标轴平行，且在矩形M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，则称P为矩形M的“近距点”．    (1)如图，若矩形对角线交点与坐标原点O重合，且顶点． ①在点中，矩形的“近距点”是______； ②点P在直线上，若P为矩形的“近距点”，求点P横坐标m的取值范围； (2)将（1）中的矩形沿着x轴平移得到矩形，矩形对角线交点为，直线与x轴、y轴分别交于点E、F．若线段上的所有点都是矩形的“近距点”，真接写出n的取值范围． 题型三、与圆结合 1．在平面直角坐标系xOy中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等和点．已知点．                   备用图 (1)在，，中，点P的等和点有________； (2)点A在直线上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标； (3)已知点和线段MN，对于所有满足的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的值． 2．对于平面直角坐标系中的图形M，N和点P．给出如下定义：如果图形M，N上分别存在点E，F，使得点E，F关于点P中心对称，那么称点P为图形M，N的关联点．特别地，当E，P，F三点重合时，点P也为其关联点．已知点，． (1)在点，，中，点C的坐标为______时，点O为线段，点C的关联点； (2)的圆心为，半径为1．若点O为，线段的关联点，求d的取值范围； (3)的半径为3，若点为，线段的关联点，直接写出t的取值范围． 3．定义：在平面直角坐标系中，对于内的一点，若在外存在点，使得，则称点为的“内二分点”． (1)当的半径为时， ①在，，，四个点中，是的“内二分点”的是 ； ②已知一次函数在第一象限的图像上的所有的点都是的“内二分点”，求的取值范围； (2)已知点，，，的半径为，若线段上存在的“内二分点”，直接写出的取值范围． 题型四、与相似结