6.2.3 向量的数乘运算-2023-2024学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第二册)

人教A版2019必修第二册 第 六 章 平面向量及其应用 6.2.3向量的数乘运算 1.掌握实数与向量积的定义. 2.掌握实数与向量积的三条运算律. 3.会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算. 4.通过对实数与向量积的学习,培养学生的数学运算、逻辑推理素养. 教学目标 PART.01 情境导入 温故知新 1. 向量加法三角形法则: 特点: 首尾连，连首尾 2. 向量加法平行四边形法则: 特点: 同起点，对角线 3.向量减法三角形法则: A O B 特点: 同起点，连终点，方向指向被减 情境导入 夏季的雷雨天,我们往往先看到闪电,后听到雷声,这说明声速与光速的大小不同,光速是声速的88万倍. 思考：若设光速为v1,声速为v2,将向量类比于实数,则v1与v2有何关系? PART.02 向量的数乘运算 概念讲解 探究1：已知非零向量，请同学们作出和，并请同学们指出相加后和的长度与方向有什么变化? 如图，。 类比数的乘法，我们把 记作 ，即。 显然的方向与的方向相同， 的长度是的长度的倍，即 类似的，。 我们把记作 ，即。 显然的方向与的方向相反， 的长度是的长度的倍，即 概念讲解 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘，记作。 定义 规定 长度： 方向：当时，的方向与的方向相同； 当时， 的方向与的方向相反； 当时， 概念讲解 ①向量数乘的结果仍然是向量，这个向量的长度、方向都和λ以及 有关； ②实数和向量可以相乘，但不能相加减，， 无意义； ③表示和向量 方向相同的单位 向量 注意 概念讲解 探究2：向量数乘的几何意义是什么? 可视为将向量的长度伸长 () 或缩短 ()的倍数。 的符号表示能够改变向量的方向， 当时，的方向与的方向相同； 当时， 的方向与的方向相反； 当时， （若， 也成立）立） 思考：你对零向量、相反向量有什么新的认识? 相反向量： ； 零向量： 或 例题剖析 例1.把下列小题中的向量表示为向量的数乘形式。 例题剖析 练习：下列说法中正确的是（ ） A.与的方向不是相同就是相反（为实数） B.若共线，则 （为实数） C.若,则 D.若，则 D 概念讲解 探究3:数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢？ 问题1： 之间的联系 问题2： 之间的联系 概念讲解 问题3： 之间的联系 概念讲解 特别地，我们有 向量数乘的运算律： 设，是实数，那么有 (1)结合律： (2)分配律：① ② 定义 向量的线性运算： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 向量线性运算的结果仍是向量。 定义 概念讲解 对于任意的向量, ,以及任意实数，恒有 概念讲解 例2：计算 解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 概念讲解 练习：(1)若向量，，则. (2)若，其中为已知向量，则向量. 解：(1) (2)由题知， ∴∴. 概念讲解 例3.如图，□的两条对角线相交于点M，且, ，用，表示 A B C D M 解：在□中， 由平行四边形的两条对角线互相平分，得 概念讲解 PART.03 平面向量共线定理 概念讲解 思考1：向量数乘运算后，实数与向量的积与原向量之间有怎样的位置关系？ 实数与向量的积与原向量共线. 思考2：反之，若两个非零向量，共线，是否存在，使得呢？ 若向量与共线，且，那么 当，同向，有； 当，反向，有 思考3：这样的实数有几个? 有且只有一个 概念讲解 位于同一直线上的向量均可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 根据这一定理，设非零向量位于直线l上，那对于直线l上的任意一个向量都存在唯一的一个实数λ，使 向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 定义 概念讲解 思考4：向量共线定理中为什么规定≠ ？ ①若将≠ 去掉，则当时，显然向量 共线; ②当，若，则不存在实数，使成立，此时不共线 ③当，若，则对一切的实数入，都有，与“唯一一个实数”矛盾。 概念讲解 例4.如图，已知任意两个非零向量，，试作向量, , ,猜想，，三点之间的位置关系，并证明你的猜想。 判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线， 为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上． 本题中，应用向量知识判断，，三点是否共线， 可以通过判断向量，