8.3 正态分布（七大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

8.3 正态分布 课程标准 学习目标 （1）了解正态分布在实际生活中的意义和作用. （2）掌握正态分布的特点及正态分布曲线所表示的意义、性质. （1）利用实际问题的频率分布直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义. （2）了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率大小. （3）掌握正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概率． 知识点01 正态分布 1、正态曲线 正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线显然对于任意，，它的图象在轴的上方．可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 若随机变量的概率密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为，特别地，当，时，称随机变量服从标准正态分布． 2、由的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 （1）曲线是单峰的，它关于直线对称； （2）曲线在处达到峰值； （3）当|x|无限增大时，曲线无限接近轴． 3、正态分布的期望与方差 若，则，． 4、正态变量在三个特殊区间内取值的概率 （1）； （2）； （3）． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则． 【即学即练1】（多选题）（2024·高二·江苏·课前预习）甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布)，，其正态密度曲线，x∈R 如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 题型一：正态曲线的图象的应用 【典例1-1】（2024·高二·江苏·课时练习）已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【典例1-2】（2024·高二·全国·课时练习）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高三·全国·竞赛）已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高二·全国·课时练习）给出下列函数：①；②；③；④，其中，，则可以作为正态分布密度函数的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（2024·高二·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   【方法技巧与总结】 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为，二是最大值为．这两点确定以后，相应参数便确定了，代入中便可求出相应的解析式． 题型二：利用正态分布的对称性求参数 【典例2-1】（2024·高二·广西北海·期末）已知随机变量，且，则（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【典例2-2】（2024·高二·山东济宁·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·高二·辽宁鞍山·阶段练习）设随机变量X服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D．1 【变式2-2】（2024·高二·辽宁沈阳·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高二·湖北·期末）已知随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 对称法：由于正态曲线是关于直线对称的，且概率的和为1，故关于直线对称的区间概率相等．如： ①； ②． 题型三：正态曲线的性质 【典例3-1】（多选题）（2024·高三·山东日照·期末）数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当比较大时，近似服从正态分布，其密度函数为.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布.当时，对任意实数，记，则（    ） A． B．当时， C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变 D．随机变量，当都增大时，概率增大 【典例3-2】（多选题）（2024·高三·河北·期末）若随机变量，，X、Y的分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选题）（2024·高三·全国·专题练习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值