6.3.5平面向量数量积的坐标表示的学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量数量积的坐标表示的学案 【学习目标】 (一)学习目标 (1)从物理中的物体受力做功，提出向量的夹角和数量积的概念，然后给出两个非零向量的夹 角和数量积的一般概念，并强调它的本质：接着给出两个向量的数量积的几何意义，提出一个 向量在另一个向量方向上的投影的概念。 (2)给出向量的数量积的运算律，并通过例题具体地显示出来。 (3)由数量积的定义式，变化出一些特例。 【学习重难点】 (一)学习重难点 [重点]用坐标表示平面向量的数量积 [难点]用坐标求向量的模及两向量的夹角 【预习新知】 （一)向量数量积的坐标表示 ①平面向量的数量积能否用坐标表示？ ②已知两个非雾向量a=(X1,yh),b=(X2,y2),怎样用a与b的坐标表示a:b呢？ ③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？ ④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？ .a=x1 i +yij,b=x2 i+y2j, ..a.b=(x1 i+yij).(X2 i+y2j) =x1x2i2+x12i·j+X2y1i·j+y1y2j2 又，i·i=1jj=1,i·j=ji=0, ..a b=X1X2+yiy2. 教师给出结论性的总结，由此可归纳如下： 1°平面向量数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和， 即a=(X1,yh),b=(X2,y2), 则ab=X1X2+yhy2: 2°向量模的坐标表示 若a=(x,,则a2=x2+y2,或a=r+y2: 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(X1,M)、(X2,V2),那么 a=(x2-x,-yal=x,·x)2+0yy)'. 3°两向量垂值的坐标表示 设a=(X1,y1),b=(X2,2),则 a⊥bUX1x2+y1y2=0. 4°两向量夹角的坐标表示 设a、b都是非零向量，a=(x1,y1),b=(X2,y2),6是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标 表示，可得 c0s0= a·b xx2+y1y2 1ab|Vx+y·Vx号+y月 【巩固训练】 (一)巩固训练 在△4BC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且0-}，连接CF并延 1如图， 长交AB于E,若AE=1EB,则1等于() E D B c号 D. 10 2.设a=(4,k),b=(2,1),若a/i,则实数k值等于(） A.-8 B.2 C.4 D.-2 3若a=(2,-3引，6=(1,2)，则aa+2)=(） A.-5 B.-3 C.3 D.5 4.已知向量a=(-1,2引，b=(1,-21）,若a1/(a-b),则实数1的值为() A.1 B.0 c 5.△ABC的三个内角为A.B.C,向量m=(N5sinA,sinB),n=(cosB,V5cosA),若 mM=1+cos(A+B),则C=() A.D B.P C. D.Sp 6 3 3 6 6.已知向量a=0.-),b=(L3),则a2a+b)=() A.0 B.1 C.-1 D.2 7已知向量a=32引6=(51)若.则1=() A.0 B.1 C.1 D.2 8.已知正方形ABCD的边长为1，O为正方形的中心.E是AB的中点，则DED0=() A号 c D.1 9.已知0在△ABC内，且S0:Sc:Sac=4:3:2,40=1B+mAC,则1+m= 参考答案 1.答案：D LLAB AE 解析：设4B=4,4℃=6，因为E=1EB,所以 =, EB 因为5所以晋器界8器合器器光行号光 6 12 12 12 是咒形器是6 1+7a-b, iIm 又因为C示心元，所以元=m罗，得到f+112 11·消m得到·所以1。产 B 故选：D 2.答案：B 解析：Qa-(4,k,b=(2,1,且a1b, \4-2k=0,解得k=2 故选：B, 3答案：B 解析：aa+2b)=(2,-3)0,1=-3. 4.答案：A 解析：向量a=(-1,2),b=(1,-21）,则a-b=(2,2+21) 由al/(a-b),得-4+(2+21)=0，解得1=1， 所以实数1的值为1. 故选：A. 5.答案：C 解析：依题意得V3 sin Acos B+√5 cos Asin B=1+cos(A+B),即V5sin(A+B)=1+cos(A+B), 5smc+oc-1.则2ne+881,snc+g8因为0<c<p.君<c+gg所 ě60 ě62 66 以C+卫=卫，解得c=里，故选C 66 3 6.答案：A 解析：a2a+b)=(仙，-)1，=11=0. 故选：A 7答案：C 解析：由题意可得：a-b=-2,-2-1）, 若a^(a-b,则3(-2+-2'(-2-1)=0，解得1=1. 故选：C. 8.答案：C 解析：如图，以A为坐标原点，AB,AD所在直线为X轴，