7.4.2 超几何分布知识点总结与题型专练讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

超几何分布 目录 知识点1：超几何分布 1 （1）超几何分布 1 （2）对超几何分布的理解 1 （3）超几何分布的均值 2 知识点2：二项分布与超几何分布的区别和联系 2 知识点3：超几何分布的证明 2 题型：超几何分布的概念 3 题型：超几何分布的性质 8 题型：超几何分布的分布列 15 题型：超几何分布的最值问题 21 题型：超几何分布在摸球中的应用 22 题型：超几何分布在生产中的应用 30 题型：超几何分布在农业中的应用 34 题型：超几何分布在比赛中的应用 36 题型：超几何分布在商业中的应用 49 题型：超几何分布在考试中的应用 54 知识点1：超几何分布 （1）超几何分布 其中在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. X 0 1 … m P … 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．记作 判断一个随机变量是否服从超几何分布，关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:一个总体（共有 N 个）内含有两种不同 的事物 A ( M个)、B (N-M个)，任取 n 个，其中恰有 X 个 A.符合该条件的即可断定是超几何分布。 如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布． （2）对超几何分布的理解 ①在超几何分布的模型中，“任取件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取件”.如果是有放回地抽取，就变成了重伯努利试验，这时概率分布是二项分布.所以两个分布的区别就在于是否为有放回地抽取. ②若随机变量满足： 试验是不放回地抽取次； 随机变量表示抽到两类中其中一类物品的件数.则该随机变量服从超几何分布. ③超几何分布的特点： 不放回抽样； 考察对象分两类； 已知各类对象的个数； 从中抽取若干个个体，考察其中某类个体个数的概率分布列. 超几何分布的试验：是从含有m（）件次品的N件产品中任取n（件产品，它具有如下特点：（1）有限个不同的基本事件（2）每个基本事件的出现是等可能的，我们称具有这样特点的试验为古典概型的随机试验，可以理解为是不放回抽样的试验。从另一个角度看这个试验，我们也可以看做是包含n个古典概型随机试验的复合试验，其中第一个试验是：从N件产品中任取一件，第二个试验是从余下的N-1件产品中任取一件，以此类推，第n个试验是从余下的N-（n-1）件产品中任取一件，这n个试验事相互不独立的。 （3）超几何分布的均值 若随机变量服从超几何分布，则(是件产品的次品率). 知识点2：二项分布与超几何分布的区别和联系 （1）区别 由古典概型得出超几何分布，由伯努利试验得出二项分布.这两个分布的关系是，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件，用表示抽取的件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量服从二项分布，即(其中)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量服从超几何分布.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题. （2）联系 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.每次试验只有两种可能的结果：成功或失败.当总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，即对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，超几何分布可以近似为二项分布. 知识点3：超几何分布的证明 (1)若，则. 证明由 则，由于为从含有件次品的件产品中取出一件次品以后，抽取件产品的不同取法种数，故，所以，证毕. 因为抽取一次取到次品概率为，所以可以理解为抽取一次平均可取到次品件，则抽取次平均可取到次品件. 一个袋中放有个红球，（）个白球，依次从袋中取个球，记下红球的个数 （1） 如果是不放回地取，则服从超几何分布。 （其中） 注：每一次取到红球的概率是不同的 题型一：超几何分布的概念 例题1：下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是（　　） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 例题2：一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码； ②X表示取出的最小号码； ③X表示取出的白球个数； ④取出一个黑球记2分