4.2.2 等差数列的前n项和公式第1课时课件(1)-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 等差数列的 前n项和公式 第1课时 学习目标 会推导等差数列前项和公式. 会用等差数列前项和公式解决简单问题. 问题探究 二百多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却迅速算出了正确答案. 高斯(1777-1855) 德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都作出了杰出贡献. 高斯是如何快速求出 <m></m> 的和？ 问题探究 101 101 101 101×50 问题探究 你能说说高斯在求和过程中利用了数列 的什么性质吗？ 设，那么高斯的计算方法可以表示为 通过配对凑成相同的数，即将“不同数的求和”化归为“相同数的求和”，从而简化了运算. 问题探究 你能用高斯的方法求吗？ 方法：拿出中间项，再首尾配对 原式 50个102 问题探究 我们发现，采用首尾配对相加时，要对分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦，能否设法避免分类讨论？ 问题探究 将上述两式相加，可得 100个 所以 倒序相加 问题探究 我们还可以从几何上体会倒序相加法. 在一堆钢管中，第一层有1根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，第层有根，如何快速求出这堆钢管有多少根？ + ∵ ， ∴ . 1根 根 层 根 根 层 ， 问题探究 由上述方法得到启示，我们利用倒序相加法求一般等差数列的前项和吗？ 对于等差数列，因为， 我们用两种顺序表示: ② ③ ②+③，得 问题探究 倒序相加法能够推广到求等差数列的前项和吗？ 个 即 等差数列的前𝑛项和公式 由此得到等差数列的前项和公式 从该公式可以看出，只要已知等差数列的首项、末项和项数，就可以求得前项和. 等差数列的前𝑛项和公式 能否用和来表示？ 把等差数列的通项公式 代入 ，可得 等差数列的前𝑛项和公式 与均为等差数列的前项和公式. 已知量 求和公式 首项、末项与项数 首项、公差与项数 等差数列的前项和公式中，涉及、、、、五个量，通常已知其中三个量，结合通项公式，可求另外两个量，即“知三求二”. 02 等差数列前n项和公式的应用 例题解析 例6 已知数列是等差数列. 解： 因为，根据公式 ，可得 （1）若，求； 分析： 已知首项、末项与项数，可以直接利用公式求和. 例题解析 例6 已知数列是等差数列. 解： 因为，所以. 根据公式，得 （2）若，求； 分析： 可以先利用和的值求出，再利用公式求和. 例题解析 例6 已知数列是等差数列. 解： 把代入，得 （3）若，求. 分析： 已知公式中的、和，解方程即可求得. 整理，得 例题解析 例6 已知数列是等差数列. 解： 解得， ，或（舍去）. （3）若，求. 分析： 已知公式中的、和，解方程即可求得. 所以， . 03 小结及随堂练习 课堂小结 等差数列的前项和公式： 随堂练习 1、设等差数列的前项和为，若，，则（ ） 【解析】 设数列的公差为，则 ， A. B. C. D. 所以 ，所以， 所以 . 随堂练习 2、已知 为等差数列，其前项和为，若，，则公差（ ） A. B. C. D. 【解析】 解得 . 由题意得，， 谢谢观看 $$