6.2.4向量的数量积学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

向量的数量积的学案 【学习目标】 (一)学习目标 (1)掌握平面向量的数量积及其几何意义 (2)掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 (3)了解用平面向量的数量积处理垂直问题的方法 (4)掌握向量垂直的条件 【学习重难点】 (一)学习重难点 重点 平面向量的数量积的概念及其应用： 难点 对平面向量的数量积的概念的理解以及平面向量数量积的应用 【预习新知】 (一)向量的数量积运算的运算律 与向量垂直、夹角有关的问题 [探究问题] 1.设a与b都是非零向量，若a⊥b,则ab等于多少？反之成立吗？ 提示：a⊥b÷ab=0. 2.lab与b1的大小关系如何？为什么？对于向量a,b,如何求它们的夹角0？ 提示：ab≤db1,设a与b的夹角为B,则ab=a blcos 6. 两边取绝对值得： abl=abllcos≤lalb. 当且仅当cos0=1, 即cos0=±1,0=0°或π时，取“=”， 所以abl≤dbl,cos0=a·bab. 【例3】(I)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1十ke2与ke,十e2的夹角为锐 角，则k的取值范围为 (2)已知非零向量a,b满足a+3b与7a一5b互相垂直，a一4b与7a-2b互相垂直，求a与b 的夹角. 思路点拨：(1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向不相同. (2)由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出与b的关系，再求a与b的夹角. (1)0,1)U(1,+o)[',e1十ke2与ke1+e2的夹角为锐角， ∴.(e1+ke2)(ke1+e2) =ke21+ke22+(k2+1)e1'e2 =2k>0,.k>0 当k=1时，e1十k2=e1十e2,它们的夹角为0°，不符合题意，舍去. 综上，k的取值范围为k>0且k≠1] (2)[解]由已知条件得 [(a+3b)-(7a-5b=0, L(a-4b-(7a-2b=0, 7a2+16ab-152=0, ① 即 7a2-30ab+82=0, ② ②-①得23b2-46ab=0, .2ab=b2,代入①得a2=b2, ∴.d=b,.∴cos0=a·bab=12b2=12. .0∈[0，元]，∴.0=r3. 1.将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围. [解]e1+ke2与ke1+e2的夹角为钝角， ∴.(e1+ke2)(ke1+e2)=ke21+ke22+(2+1)e1'e2=2k<0, k<0 当k=一1时，e1十e2与ke1十e2方向相反，它们的夹角为元，不符合题意，舍去. 综上，k的取值范围是k<0且k≠一1 2.将本例(1)中的条件“锐角”改为“π3”，求k的值。 [解]由已知得e1+ke2=22=1+k2, ke1十e2=222=k2+1, (e1+ke2)(ke1+e2)=ke21+ke22+(k2+1)e1'e2=2k cos t 3=(el+ke2)(kel+e2)el+ke2kel+e2=2k1+k2, 即2k1十k2=12,整理得k2-4k+1=0, 解得k=12)2=2±3 研究数量积的意义 b a cosa B 1.给出向量投影的概念： 如图，我们把|b|cosa(|a|cosa) 叫做向量b在a方向上(a在b方向上)的投影， 这做：OB1=||b|I cosa 2提出问题5：数量积的几何意义是什么？ 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|cosa的乘积。 3.研究数量积的物理意义 请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积。 【巩固训练】 (一)巩固训练 1.已知点O为△ABC所在平面内一点，在△ABC中，满足2AB.A0=AB,2AC.A0=4C,则点 O为该三角形的() A内心 B外心 C垂心 D.重心 2.已知正方形ABCD的边长为2，若BP=PC,则AP.BD=() A.2 B.-2 C.4 D.-4 3.已知菱形ABCD的边长为1，cos∠BAD=}，O为菱形的中心，E是线段AB上的动点，则 DE·DO的最小值为() A.1 B月 c 6 4.已知a,万为平面向量，其中a=1,1b=2,a6=1,则1b-2a=() A.1 B.2 C.25 D.4 5.已知向量4，b满足|a-b=3,|a+b=2a-b1,则b= 6,若ξ，6是夹角为60的两个单位向量，则向量C-G,与g的夹角为() A.30° B.60 C.90 D.120° 参考答案 1.答案：B 解析：根据题意，2AB·A0=AB,即2AB.A0=24BA0cos(aB,A0）=AB,所以 A0c0s(AB,40)=)A,可得向量A0在向量B上的投影为A的一半，可分析出点0在边 AB的中垂线上，同理可得，点O在边AC的中垂线上，所以点O为该三角形的外