6.2.4向量的数量积教案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

向量的数量积的教案 课型:□新课 □复习 □实验 讲评 【教材分析】 (一)教材分析 本节内容是平面向量的数量积运算运算,由功的概念导入,学习平面向量的数量积运算以及运 算律这些知识点,同时根据将向量的线性运算与向量的数量积运算进行对比分析。 【学情分析】 (一)学情分析 本单元是在学生已经学习了平面向量线性运算的基础上,以物理中功的概 念,引入向量“数量积”的概念 向量的数量积运算结果是实数,它不仅满足交换律,而且对加法满足分配律,向量数量积可以 刻画两个向量的夹角和向量的长度(可以看成两点间的距离),而距离和角又是刻画几何元素 (点、线、面)之间度量关系的基本量,因此,向量数量积在解决平面几何问题中发挥着独到 的作用. 【教学目标】 (一)教学目标 1掌握平面向量的数量积及其几何意义。 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题 4.掌握向量垂直的条件 【教学重难点】 (一)教学重难点 1.教学重点 平面向量的数量积的概念及其应用 2.教学难点 对平面向量的数量积的概念的理解以及平面向量数量积的应用 【新课导入】 (一)新课导入 [问题1我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果 是什么?[问题21我们是怎么引入向量 的加法运算的?我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的? [问题3当力F与运动方向成 【新课讲解】 (一)向量的数量积运算的运算律 与向量垂直、夹角有关的问题 [探究问题] 1. 设a与b都是非零向量,若a上b,则ab等于多少?反之成立吗? 提示:a1bab-0 2. ab与all引的大小关系如何?为什么?对于向量a,b,如何求它们的夹角9? 提示:ab<allb,设a与的夹角为,则ab=allblecos6 两边取绝对值得: ab-allblleos 6allb 当且仅当cos6一1, 即cos0-士1,0-0o或n时,取“-”, 所以a:b<allb,cos 6-a·ballb. 【例3】 (1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e十ke2与ke.十e2的夹角为锐 角,则的取值范围为 (2)已知非零向量a,b满足a十3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2互相垂直,求a与 的夹角. 思路点拨:(1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向不相同 (2)由互相垂真的两个向量的数量积为0列方程,推出a与b的关系,再求a与b的夹角。 (1)(0,1)U(1,+~)['·'e十ke2与ke+e2的夹角为锐角, ..(e十ke2):(ke:十e2) -ke21+ke22+(k2+1)e1'e2 -2k>0,..k>0. 当k-1时,e+ke-ke+e2,它们的夹角为0,不符合题意,舍去. 综上,k的取值范围为k>0且k去1.] (2)[解] 由已知条件得 [(a+3b)(7a-5b)=0. ((a-4b)(7a-2b)=0 [$ +16b-15b-$ ① 即 ② 7a-30a-b+8b2=0. ②-①得2352-46ab-0, *2ab-b2,代入①得2-2 'a=b,..cos6-a·balb=12b2=12 .0E[o,,.6-I3. 1. 将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”,其他条件不变,求飞的取值范围 [解].e十ke2与ke十e2的夹角为钝角, '.(e+ke)(ke +e)-ke21+ke22+(k2+1)e:e-2k<0 ..k<0. 当k=一1时,e十ke2与ke十e2方向相反,它们的夹角为n,不符合题意,舍去. 综上,k的取值范围是k<0且k关一1. 2.将本例(1)中的条件“锐角”改为“In3”,求k的值 [解] 由已知得e+ke2-2-1+k2, lke+e2-22-k2+1 (e.+ke)(ke.+e)-ke21+ke22+(k2+1)e.e-2k 则 os n3=(e1+ke2)(ke1+e2)le1+ke2llke1+e2=2k1+k2 即2k1+k2=12,整理得r2-4+1-0 解得-12)2-23 向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念: ①在a的方向上的投影为bcos6 ②a在b的方向上的投影为lalcos6 (2)数量积的几何意义:数量积ab等于a的长度a与5在a的方向上的投影blcos6的乘积 思考:投影一定是正数吗? [提示]投影可正、可负也可以为零. 【板书】 (一)板书 1.向量的夹角概念; 2.向量数量积的概念; 3.投影向量的概念; 4.向量数量积的性质; 5.向量数量积的运算律 【课后反思】 (一)课后反思 小结: 本节课我们主要学习了哪些内容? (1)向量数量积的概念 (2)投影向量; (3)向量数量积的性质; (4)向量数量积的运算律