福建省宁德市古田县第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷

2023—2024学年古田一中第二学期第一次月考 高二数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（    ） A． B． C． D． 2．若函数在处的导数等于，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．若在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则边上的中线的长是（    ） A． B．2 C． D．3 4．设函数的图象与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．是空间不共面的四点，且满足，，，为中点， 则的形状为（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 6．已知函数，则的最大值为（　） A． B． C． D． 7．如图，在边长为的正三角形的三个角处各剪去一个四边形.这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①.若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②.则这个容器的容积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 11．已知函数，恰好存在4个不同的正数，使得，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在空间直角坐标系中，已知两点，，则 . 13．写出一个同时具有下列性质①②的函数= . ①；②. 14．设函数在处取得极值，且，当时，最大值记为，对于任意的的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 已知平行六面体，，. (1)求的长度； (2)求异面直线与BC所成角的余弦值. 16．（15分） 已知函数，且． (1)求的值； (2)设，求过点的切线方程． 17．（15分） 已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在内存在两个极值点，求实数a的取值范围． 18．（17分） 某中学为美化校园将一个半圆形边角地改造为花园．如图所示，为圆心，半径为千米，点、、都在半圆弧上，设，，其中． 若在花园内铺设一条参观的线路，由线段、、三部分组成， 求当取何值时，参观的线路最长； (2)若在花园内的扇形和四边形内种满杜鹃花，求当取何值时，杜鹃花的种植总面积最大． 19．（17分） 若时，函数取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.已知函数，其中为正实数. (1)若函数有极值点，求的取值范围； (2)当和的几何平均数为，算术平均数为. ①判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明； ②当时，证明： 高二下月考1数学试题 第 2 页 高二下月考1数学试题 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年古田一中第二学期第一次月考 高二数学参考答案 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 B D C B C C C D 二、多选题 9.BC 10.AB 11.AD 10．【详解】如图，取DC的中点M，连接AM，BM， ∵AM⊥CD，BM⊥CD，平面， ∴CD⊥平面，平面，∴CD⊥AB，故A正确； 取BD的中点H，连接HE，HF，则，， ∴HE⊥FH，即，又，∴，， ∴，故B正确； 由B知，在上的投影向量为，故C不正确； ，故D不正确，故选：AB． 11．【详解】令函数，依题意，恰有4个正实根，即直线与函数的图象恰有4个公共点，在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图， 显然当时，直线与函数的图象有一个交点，， 当时，直线与函数的图象有两个交点，， 当时，直线与函数的图象有唯一公共点，， 此时直线必为曲线在点处的切线，由求导得， 由，得，即， 因此，而当时，，则， C错误，D正确； 令，求导得，函数在上递减， 而，则当时，，，函数在上单调递增， 当时，，，函数在上单调递减， 因此，A正确，B错误.故选：AD 三、填空题 12. 13. （答案不唯一，） 14. 2 1