大题强化及变式训练（11）-2024届高三数学二轮复习大题强化及变式训练（新高考九省联考题型）

2024届大题强化训练及变式训练（11） 1．如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点在侧棱上，. （1）证明：是侧棱的中点； （2）求二面角的正弦值. 变式：如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面，在上，且． （1）证明：平面； （2）若，为的中点，且，求平面与平面夹角的余弦值． 2．在梯形中，，设，，已知. （1）求； （2）若，，，求. 变式：如图，在中，，，，点在边的延长线上. （1）求的面积； （2）若，为线段上靠近的三等分点，求的长. 3．人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据： 外向型 内向型 男性 45 15 女性 20 10 （1）以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者．设这三人中性格外向型的人数为，求的数学期望． （2）对表格中的数据，依据的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由． 附：参考公式：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 变式：2023年7月28日，第三十一届世界大学生夏季运动会在成都隆重开幕.为庆祝大运会的到来，有，，，，共10位跳水爱好者自发组建了跳水训练营，并邀请教练甲帮助训练.教练训练前对10位跳水员测试打分，得分情况如图中虚线所示；集训后再进行测试，10位跳水员得分情况如图中实线所示，规定满分为10分，记得分在8分以上的为“优秀”. 优秀人数 非优秀人数 合计 训练前 训练后 合计 （1）将上面的列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，判断跳水员的优秀情况与训练是否有关？并说明原因； （2）从这10人中任选3人，在这3人中恰有2人训练后为“优秀”的条件下，求这3人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率； （3）跳水员将对“5米、7.5米和10米”这三种高度进行集训，且在训练中进行了多轮测试.规定：在每轮测试中，都会有这3种高度，且至少有2个高度的跳水测试达到“优秀”，则该轮测试才记为“优秀”.每轮测试中，跳水员在每个高度中达到“优秀”的概率均为，每个高度互不影响且每轮测试互不影响.如果跳水员在集训测试中要想获得“优秀”的次数平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？ 附：，其中. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 4．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求证：； （3）若且，求证：． 变式：已知函数. （1）若函数为增函数，求的取值范围； （2）已知. （i）证明：； （ii）若，证明：. 5．已知双曲线的两条渐近线分别为上一点到的距离之积为． （1）求双曲线的方程； （2）设双曲线的左、右两个顶点分别为为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，直线与轴的交点为，直线与的交点为，证明． 变式：如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，设抛物线在点处的切线为． （1）若直线与轴的交点为，求证：； （2）过点作的垂线与直线交于点，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届大题强化训练及变式训练（11） 1．如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点在侧棱上，. （1）证明：是侧棱的中点； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【分析】（1）作，连接，作，则为矩形，由此利用几何关系求得，即可证明； （2）解法一：由已知推导出为等边三角形，取取中点，连结，取中点，连结，利用二面角定义可得为二面角的平面角，利用余弦定理求得余弦值，再利用同角三角函数关系求得正弦值即可； 解法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量的垂直的条件列方程组求得二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后利用向量的夹角坐标运算公式求得法向量的夹角余弦值，进而利用平方关系求得正弦值. 【解析】（1）作交于点，则，因为四边形是正方形，所以. 又平面，平面，所以. 因为，平面，，所以平面， 又，所以平面， 连接，平面，所以，则四边形为直角梯形， 作，足为，则为矩形， 设，则， ， 由，得， 解得，即，从而，所以为侧棱的中点. （2）解法一：因为四边形是正方形，所以，又平面， 平面，所以.因为，平面，