极速提分法第10招圆中常用的作辅助线的八种方法 练习课件 2023—2024学年华东师大版数学九年级下册

第10招 圆中常用的作辅助线的八种方法 华师版 九年级下 方法 1 作半径，巧用同圆的半径相等 分 类 训 练 1. 如图，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，点E在半圆O的直径上，点G在大正方形的边AB上．若小正方 形的边长为4 cm，求该半圆的半径． 极速提分法 【点拨】 在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连结半径构造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题． 极速提分法 极速提分法 极速提分法 方法 2 连结圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等 2. 如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于点D，DP⊥AC，垂足是点P，DH⊥BM，垂足为点H.求证：AP＝BH. 极速提分法 【点拨】 本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到∠DAC＝∠DBC，为证两个三角形全等创造了条件． 极速提分法 极速提分法 极速提分法 3.如图，⊙O的半径为R，弦AB，CD互相垂直，连结AD，BC． 方法 3 作直径，巧用直径所对的圆周角是直角 极速提分法 【点拨】 本题作出直径DE，连结AE，CE利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形，给解题带来了方便． 极速提分法 (1)求证：AD2＋BC2＝4R2； 【证明】如图，过点D作⊙O的直径DE交⊙O于点E，连结AE，EC，AC. ∵DE是⊙O的直径， ∴∠ECD＝∠EAD＝90°. 极速提分法 极速提分法 (2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离． 【解】如图，过点O作OF⊥AD于点F. 极速提分法 极速提分法 方法 4 证切线时辅助线的应用 4. [2023·长春五十二中月考]如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，F是弦AD的中点，连结OF并延长OF交⊙O于点E，连结BE交AD于点G，延长AD至点C，使得GC＝BC． 极速提分法 (1)求证：BC是⊙O的切线． 【证明】如图，连结OD， ∵OA＝OD，F是弦AD的中点， ∴OF⊥AD. ∴∠EFG＝90°.∴∠E＋∠FGE＝90°. 极速提分法 ∵BC＝GC，∴∠BGC＝∠GBC. ∵∠FGE＝∠BGC，∴∠GBC＝∠FGE. ∵OE＝OB，∴∠ABE＝∠E. ∴∠ABE＋∠GBC＝90°. ∴∠ABC＝90°，即OB⊥BC. 又∵OB为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线． 极速提分法 极速提分法 极速提分法 方法 5 遇弦作弦心距或半径 C 极速提分法 6.如图，⊙O的直径为10 cm，弦AB＝8 cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围． 极速提分法 【解】如图，过点O作OE⊥AB于点E，连结OB. 极速提分法 极速提分法 7. 如图①，在⊙O中，弦CD垂直直径AB于点E，已知AC＝6，DB＝4. 方法 6 遇直径巧作直径所对的圆周角 极速提分法 (1)求直径AB的长； 极速提分法 (2)小慧说“若将题目条件中的‘直径AB’改为‘弦AB’，其余条件均不变(如图②)，⊙O的直径仍不变”，你觉得小慧的说法正确吗？请说明理由． 小慧的说法正确，理由如下：连结AO，并延长AO交⊙O于点F，连结CF，如图②所示， 极速提分法 极速提分法 8. [2023·新乡十中期末]如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E. 方法 7 遇切线巧作过切点的半径 极速提分法 (1)求证：∠BDC＝∠A； 【证明】如图，连结OD. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°. ∴∠A＋∠DBO＝90°. ∵CD切⊙O于点D， ∴∠CDO＝90°.∴∠BDC＋∠ODB＝90°. ∵OD＝OB，∴∠DBO＝∠ODB.∴∠BDC＝∠A. 极速提分法 (2)若CE＝8，AD＝12，求DE的长． 极速提分法 方法 8 巧添辅助线计算阴影部分的面积 极速提分法 (1)求证：AC是⊙O的切线； 【证明】如图，连结CO，交DB于点E， ∴∠O＝2∠CDB＝60°. 又∵∠OBE＝30°， ∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°. ∵AC∥BD，∴∠ACO＝∠BEO＝90°，即OC⊥AC. 又∵OC是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线． 极速提分法 极速提分法 极速提分法 【解】如图，连结OA，OF.设OA＝OF＝r cm， AB＝a cm，易得OB＝ cm. 在Rt△OAB中，r2＝＋a2， 在Rt△OEF中，r2＝42＋， ∴＋a2＝42＋.解得a1＝8，a2＝－4(舍去)． ∴r2＝＋82＝80.∴r1＝4 ，r2＝－4 (舍去)． ∴该半圆的半径为4 cm. 【证明】