第10讲 几个三角恒等式（2个知识点+3种题型+强化训练）-2023-2024学年高一下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019必修二）

第10讲 几个三角恒等式（2个知识点+3种题型+强化训练） 知识导图 知识清单 知识点1 积化和差公式与和差化积公式 1、积化和差公式 2、和差化积公式 、 3、应用和差化积公式时的注意事项 （1）在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行， 若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次，必须用降幂公式降为一次。 （2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： ①运用公式之后，能否出现特殊角； ②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项。 （3）为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当做三角函数值才能应用公式， 如 知识点2 半角公式及万能公式 1、半角公式： ＝±， ＝±， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 2、万能公式 ； ； 3、利用半角公式求值的思路 （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解； （2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围； （3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常利用，计算。 （4）下结论，结合（2）求值。 知识复习 题型1.和差化积与积化和差公式的应用 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知函数，则（    ） A．的一个周期为 B．的图像关于中心对称 C．的最大值为2 D．在上的所有零点之和为 三、填空题 4．（23-24高一下·上海·假期作业）在中，若，则是 三角形； 四、解答题 5．（23-24高三上·山东济宁·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如下图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为号的48个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要. (1)求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值. （参考公式：） 6．（2023高一上·全国·专题练习）求证： (1)； (2). 7．（2024高一下·江苏·专题练习）证明下列恒等式. (1); (2). 题型2. 万能公式的应用 一、单选题 1．（2022·全国·模拟预测）已知第二象限角满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河北·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D．1 3．（23-24高三上·湖北·期中）已知，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2023高三·全国·专题练习）已知， ，则 5．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知，则 ． 6．（2023·山东·模拟预测）已知内角分别为，且满足，则的最小值为 . 三、解答题 7．（21-22高一下·江西南昌·期中）已知． (1)求的值； (2)已知，，，求的值． 题型3. 半角公式的应用 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）已知角是第二象限角，且终边经过点，则（    ） A． B． C． D．或 二、填空题 2．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知，，则 . 3．（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）函数，若对于任意的有恒成立，则实数的最小值是 . 4．（23-24高一上·全国·课后作业）在中，，则 . 三、解答题 5．（23-24高一下·河北保定·开学考试）已知，. (1)求的值； (2)求的值． 强化训练 一、单选题 1．计算：（    ） A． B． C． D． 2．已知cos2α－cos2β＝a，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于(　　) A．－ B． C．－a D．a 3．的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知sin θ＝，cos θ＝，则tan等于（    ） A．－ B．5 C．－5或 D．－或5 5．设，，，则，，大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高三上·江苏南京·期末）若，则（