9.5 三角形的中位线 课时训练　课件　2023—2024学年苏科版数学八年级下册

9.5 三角形的中位线 课时训练 第9章　中心对称图形——平行四边形 [2023·金华]如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝ 4 cm，则该工件内槽宽AB的长为________cm. 1 8 2 2 [2023·黑龙江]如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P.若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是(　　) A．2.5 B．2 C．3.5 D．3 A [2023·泸州]如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3 【点拨】 【答案】A 4 (1)△ADE的面积为________； 3 【点拨】 (2)若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为________． 【点拨】 5 如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G，F分别为BH，CH的中点． (1)求证：四边形DEFG为平行四边形； (2)若DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度． 6 14 (2)若BD，CE是△ABC的内角平分线，(1)中的其余条件不变(如图②)，则线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明． 【点方法】 证明线段的和差倍分关系的方法：由于三角形的中位线等于三角形第三边的一半，因此当需证明某一线段是另几条线段和的一半，且题中出现中点时，常先证明这个一半的线段是三角形的中位线，然后用三角形的中位线定理证明即可． 在▱ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB， ∴∠CDP＝∠APD. ∵DP平分∠ADC，∴∠CDP＝∠ADP. ∴∠ADP＝∠APD.∴AP＝AD＝4. ∵AB＝CD，CD＝6，∴AB＝6.∴PB＝AB－AP＝ 6－4＝2. ∵E是PD的中点，OD＝OB， ∴EO是△DPB的中位线．∴EO＝PB＝1. 如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，EA＝ED＝. 如图，过E作EM⊥AD于M，延长EM交AG于点N，交BC于点P. ∵EA＝ED，AD＝3， ∴AM＝DM＝AD＝. ∴EM＝＝2. ∴△ADE的面积为AD·EM＝×3×2＝3. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABP＝∠BAM＝90°，AB∥CD.∵EP⊥AD，∴∠AMP＝90°.∴四边形ABPM是矩形． ∴AB∥EP.∴∠ABF＝∠NEF，EP∥CD. ∵F为BE的中点，∴BF＝EF.又∵∠AFB＝∠EFN， ∴△ABF≌△NEF(ASA)．∴EN＝AB＝3.∴MN＝1. 易得AN＝NG. ∴GD＝2MN＝2.∴AG＝＝. 【证明】∵点D，E分别为AB，AC的中点，点G，F分别为BH，CH的中点， ∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线． ∴DE∥BC，DE＝BC，GF∥BC，GF＝BC. ∴DE∥GF，DE＝GF. ∴四边形DEFG为平行四边形． 【解】∵四边形DEFG为平行四边形， ∴DG＝EF＝2. ∵DG⊥BH，∴∠DGB＝90°. ∴BG＝＝＝. (1)如图①，BD，CE是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F，G，连接FG，延长AF，AG，分别与直线BC相交于点M，N.求证：FG＝(AB＋BC＋AC)． 【证明】∵AF⊥BD，∠ABF＝∠MBF， ∴易得∠BAF＝∠BMF.∴MB＝AB.∴AF＝MF. 同理可得CN＝AC，AG＝NG， ∴FG是△AMN的中位线． ∴FG＝MN＝(MB＋BC＋CN)＝(AB＋BC＋AC)． 【解】猜想：FG＝(AB＋AC－BC)． 证明如下：∵AF⊥BD，∠ABF＝∠MBF. ∴易得∠BAF＝∠BMF.∴MB＝AB.∴AF＝MF. 同理可得CN＝AC，AG＝NG， ∴FG是△AMN的中位线． ∴FG＝MN，即MN＝2FG. ∵BC＝MB＋CN－MN＝AB＋AC－2FG， ∴FG＝(AB＋AC－BC)． $$