9.4（6）正方形的判定－课时训练课件　2023—2024学年苏科版数学八年级下册

9.4（6）正方形的判定 课时训练 第9章　中心对称图形——平行四边形 在菱形ABCD中，若要添加一个条件后，使它是正方形，则添加的条件可以是(　　) A．AB＝AD 　　　B．AB⊥BC C．AC⊥BD 　　　D．AC平分∠BAD 1 B 2 2 【点拨】 如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点E作GH⊥BC于点H，交AD的延长线于点G，则∠AFB＝∠GHF＝90°，∴AF∥GH. ∵AD∥BC，∠AFH＝90°， ∴四边形AFHG是矩形． ∴∠G＝∠FAG＝90°. 【答案】A 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2， ∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，BC上的动点．下列4种说法： ①存在无数个平行四边形MENF； ②存在无数个矩形MENF； ③存在无数个菱形MENF； ④存在无数个正方形MENF. 其中正确的有(　　) A．1种 B．2种C．3种 D．4种 3 【点拨】 连接AC，MN，AC交BD于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵BE＝DF，∴OE＝OF.当MN过点O时，易证OM＝ON，∴四边形MENF为平行四边形．∵点E，F，M，N是动点，∴存在无数个平行四边形MENF；当MN过点O，MN＝EF时，四边形MENF是矩形， ∵点E，F，M，N是动点，∴存在无数个矩形MENF；当MN过点O，MN⊥EF时，四边形MENF是菱形．∵点E，F是动点，∴存在无数个菱形MENF；当MN过点O，MN＝EF且MN⊥EF时，四边形MENF是正方形，符合要求的正方形只有一个，故①②③正确，④错误． 【答案】C [2023·攀枝花]如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边三角形ACD、等边三角形ABE、等边三角形BCF，且点A在△BCF内部，给出以下结论： 4 ①四边形ADFE是平行四边形； ②当∠BAC＝150°时，四边形ADFE是矩形； ③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形； ④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形． 其中正确结论有________(填序号)． ①②③④ 【点拨】 ①利用“SAS”证明△EFB≌△ACB，得出EF＝AC＝AD；同理可得△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ADFE是平行四边形，即可判断结论①正确； ②当∠BAC＝150°时，求出∠EAD＝90°，根据有一个角是90°的平行四边形是矩形即可判断结论②正确； ③先证明AE＝AD，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断结论③正确； ④根据既是菱形，又是矩形的四边形是正方形即可判断结论④正确． 5 如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE的外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．求证：四边形ABCD是正方形． 【证明】过点A作AG⊥EF于点G，如图， 则∠AGE＝∠AGF＝90°. ∵AB⊥CE，AD⊥CF， ∴∠B＝∠D＝90°＝∠C. ∴四边形ABCD是矩形． ∵∠CEF，∠CFE的外角平分线交于点A， ∴AB＝AG，AD＝AG. ∴AB＝AD.∴四边形ABCD是正方形． 如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形： a．两组对边分别相等　b．一组对边平行且相等 c．一组邻边相等 d．一个角是直角 顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c，则正确的是(　　) A．仅① B．仅③ C．①② D．②③ 6 15 【点拨】 ①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c得到一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d得到有一个角是直角的菱形是正方形，故①正确； ②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d得到有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c得到一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确； ③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c得到一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确． 【点易错】 由矩形和菱形判定正方形，容易混淆二者需要添加的条件．由矩形到正方形只需一组邻边相等，由菱形到正方形只需一个角是直角． 7 (1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由； (2)请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？ 将一副直角三角板DOE与AOC叠放在一起，如图①，∠O＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°，OD>OC．在两个三角板所在平面内，将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α(0°<α<90°)到三角形 D1OE1的位置，使OD1∥AC， 如图②. (1)求α的值； 8 【解】∵