21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 讲义-2023-2024学年人教版数学 九年级上册

微专题-一元二次方程根与系数的关系 知识储备整理 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； 经典考点分析 题型1、（利用关系求另一个） 例题1．已知方程的一个根是2，求另一个根及k的值． 变式1、已知方程的一个根是3，求它的另一根及的值． 题型2、（整体代入求值与关系的结合求代数式的值） 例题1．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）． A．2010 B．2011 C．2012 D．2013 变式1．已知方程x2﹣4x+2＝0的两根是x1，x2，则代数式的值是（　　） A．2011 B．2012 C．2013 D．2014 变式2、设α、β是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，则α2+2α+β的值为_____． 【答案】2017 变式3、已知关于的一元二次方程有实数根.（1）求实数m的取值范围；（2）当m=2时，方程的根为，求代数式的值. 题型3、降幂思想求值 例1.已知，是方程的两根，则代数式的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 变式1、若，则的值为_________________． 【答案】 变式2、若，那么代数式的值是_________. 【答案】- 6 题型4、和差之间的关系转换 （1）实数使关于的方程有两个实数根．若，求的值． （2）已知，是方程的两个根，求： (1)的值； (2) 变式1、已知关于x的二次方程x2-（2k+1）x+k-2＝0． (1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根满足，求k的值． 变式2、已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+2=2（1﹣x）有两个实数根x1、x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值． 题型5、构造方程思想求值 例1.已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为（　　） A．﹣402 B． C． D． 【答案】C 【详解】将9n2+2010n+5=0方程两边同除以n2，变形得：5×（）2+2010×+9=0，,又5m2+2010m+9=0， ∴m与为方程5x2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m•==． 故选C 变式1、已知实数， 满足等式，，则的值是______． 【答案】 【详解】解：∵实数， 满足等式，， ∴m，n是方程的两实数根， ∴，， ∴， 故答案为： 变式2、若m2+mn＝－1，n2－3mn＝10，则代数式m2+7mn－2n2的值为_______． 【答案】−21 【详解】∵，， ∴原式=(m2＋mn)−2(n2−3mn)=−1−20=−21， 故答案为：−21． 题型6、根的取值范围问题 例1．方程的两根分别为，，且，则的取值范围是____． 【答案】 【详解】根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣3， ∵x1＜0＜x2＜1， ∴x1x2＜0，x1﹣1＜0，x2﹣1＜0， ∴m﹣3＜0，（x1﹣1）（x2﹣1）＞0， x1x2﹣（x1+x2）+1＞0，即m﹣3+m+1＞0，解得m＞1， ∴1＜m＜3． 变式1、已知x1，x2是关于x的方程ax2﹣（a+1）x+1＝0的两个实数根． （1）若x1≠x2，求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a使得x12＝x22成立？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）且；（2）存在，a的值为1或-1 【详解】解：（1）由题意得， 解得：a≠0且a≠1． 故实数a的取值范围是：a≠0且a≠1； （2）存在； ①若x1＝x2，则， 解得：a＝1； ②若x1+x2＝0，则， 解得：a＝﹣1． 综上所述，a＝1或﹣1． 变式2、关于x的方程有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件的取值范围： （1）两根都小于0； （2）两根都大于1； （3）方程一根大于1，一根小于1． 【答案】（1）-2＜a＜-1；（2）2＜a＜3；（3）a＞3 【详解】解：∵关于x的方程x2-2ax+a+2=0有两个不相等的实根， ∴△=（-2a）2-4（a+2）＞0， ∴a＜-1或a＞2．