重难点专题02 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题（四大题型）（课件）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

重难点专题02 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题 01 02 03 目录 CONTENTS 题型归纳 方法技巧 典型例题 01 题型归纳 题型归纳 02 方法技巧 方法技巧 1、三角形四心与推论： （1）是的重心：． （2）是的内心：． （3）是的外心： ． （4）是的垂心： ． 03 典型例题 【典例1-1】（2024·山东滨州·高一山东省北镇中学校考开学考试）已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】如图所示，由三角形重心的性质， 可得，所以， 所以，即， 因为三点共线，可得， 所以． 故选：A． 题型一：重心定理 典型例题 【答案】A 【解析】若是的中点，连接， 点G是的重心，则必过，且， 由题设，又共线， 所以，即，注意， 由， 当且仅当，即时等号成立，故目标式最小值为1．故选：A 【典例1-2】（2024·全国·高一假期作业）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 题型一：重心定理 典型例题 【变式1-1】（2024·全国·高一随堂练习）已知中，点为所在平面内一点，则“”是“点为重心”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】依题意 ， 则是重心，即充分性成立； 若是重心时，， 可得 所以，必要性成立，故选：C． 题型一：重心定理 典型例题 【答案】D 【解析】记为的中点，连接，作，如图， 则，， 因为， 所以， 所以点在三角形的中线上，则动点P的轨迹一定经过的重心．故选：D． 【变式1-2】（2024·全国·高一专题练习）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 题型一：重心定理 典型例题 【典例2-1】（2024·高一课时练习）已知点O是边长为的等边△ABC的内心， 则＝ ． 【答案】1 【解析】设D为BC的中点，因为点O是边长为的等边△ABC的内心， 所以 ，，两两夹角为120°， 且||＝||＝|||AD|． 所以 ＝22 ＝1． 故答案为：1． 题型二：内心定理 典型例题 【答案】 【解析】在，由余弦定理得， 设分别是边上的切点，设，则， 所以， 由得，， 即，① 同理由，② 联立①②以及即可解得：， 【变式2-1】（2024·江苏南通·高一如皋市第一中学期末）已知点P为的内心，，若，则 ． 题型二：内心定理 典型例题 【答案】 【解析】取中点，连接，作，垂足分别为， ，为的角平分线，； 又，，，则； 周长， 面积， 内切圆半径，， 又，， ，，，， ． 【变式2-2】（2024·广西柳州·高一统考期末）设为的内心，，，，则 题型二：内心定理 典型例题 【典例3-1】（2024·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）已知点O是△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则 ． 【答案】5 【解析】如图所示， 取AB的中点E，连接OE， 因为为△ABC的外心，则， 所以 ， 同理： ， 所以 ． 故答案为：5． 题型三：外心定理 典型例题 【答案】C 【解析】由题意可知，为的外心，设外接圆半径为，在圆中，过作，，垂足分别为，， 则，分别为，的中点， 因为，两边乘以，即， 的夹角为，而， 则，得①， 同理两边乘，即，， 则，得②， ①②联立解得，，所以．故选：C． 【典例3-2】（2024·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知中，，，，为的外心，若，则的值为（ ） A．1 B．2 C． D． 题型三：外心定理 典型例题 【变式3-1】（2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习）已知点O是△ABC的外心， ，若，则 ． 题型三：外心定理 【答案】7 【解析】如图，，，，且， ，， ， ，， 整理得，， ． 典型例题 【答案】 30 25 【解析】如图，是的边上的高，则； 设，因为，面积为15，所以，即； ． 由第一空可知，所以； 所以，由可得，即； 因为，所以； 故答案为：30   25． 【典例4-1】（2024·江苏泰州·高一统考期末）已知的垂心为点，面积为15，且，则 ；若，则 ． 题型四：垂心定理 典型例题 【典例4-2】（2024·山西·高一校联考阶段练习）已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则 ． 题型四：垂心定理 【答案】 【解析】因为，所以， 同理， 由H为△ABC的垂心，得，即， 可知，即，