2024年中考数学（苏科版）二轮复习专题训练课件：平行线中作辅助线的方法

专题训练　平行线中作辅助线的方法 类型一 过一个“折点”作平行线 1. 如图,直线a∥b,将一块含30°角的三角尺按如图所示的方式放置.若∠1 =24°,则∠2的度数为 (　　) A. 120° B. 136° C. 144° D. 156° C 2. 如图,AB∥CD,EF⊥CD于点F.若∠E=150°,则∠B的度数为 (　　) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 3. 如图,直线AB∥CD,∠A=115°,∠E=80°,则∠D的度数为 (　　) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° D A 类型二 过两个“折点”作平行线 4. 如图,若AB∥CD,∠BEF=70°,则∠ABE+∠EFC+∠DCF的度数为 (　　) A. 215° B. 250° C. 320° D. 无法确定 B 解析:如图,分别过点E,F作EG∥AB,HF∥CD.∵ AB∥CD,∴ AB∥EG∥ HF∥CD.∴ ∠ABE=∠BEG,∠EFH=∠GEF.∴ ∠ABE+∠EFH=∠BEG+ ∠GEF=∠BEF=70°.∵ ∠HFC+∠DCF=180°,∠EFH+∠HFC=∠EFC, ∴ ∠ABE+∠EFC+∠DCF=180°+70°=250°. 5. 如图,AB∥CD,∠ABE=36°,∠BEF=60°,∠DCF=30°,则∠EFC=　　 . 54° 解析:如图,分别过点E,F作EM∥AB,FN∥CD,则∠ABE=∠BEM,∠DCF= ∠CFN.∵ ∠ABE=36°,∠BEF=60°,∠DCF=30°,∴ ∠BEM=36°, ∠CFN=30°.∴ ∠MEF=∠BEF-∠BEM=60°-36°=24°.又∵ AB∥CD, ∴ EM∥FN.∴ ∠EFN=∠MEF=24°.∴ ∠EFC=∠EFN+∠CFN=24°+ 30°=54°. 类型三 补全截线或被截线 6. 如图,在“箭头”图形中,AB∥CD,∠B=∠D=80°,∠E=∠F=47°,则∠G的度数为 (　　) A. 80° B. 76° C. 66° D. 56° C 解析:如图,延长AB交EG于点M,延长CD交FG于点N,过点G作GK∥AB.∵ AB∥CD,∴ GK∥AB∥CD.∴ ∠KGM=∠EMB,∠KGN=∠DNF.∴ ∠KGM+∠KGN=∠EMB+∠DNF.∴ ∠EGF=∠EMB+∠DNF.∵ ∠ABE =80°,∠E=47°,∴ ∠EMB=∠ABE-∠E=33°.同理,可得∠DNF=33°,∴ ∠EGF=∠EMB+∠DNF=33°+33°=66°. 7. 一张纸条如图所示,BC∥DR,点E在DR上,将纸条沿着BE折叠.若∠ABC= 38°,则∠DEF的度数为　　　　. 109° 解析:如图,延长AB交DR于点T.∵ BC∥DR,∴ ∠ABC=∠ATR=38°.由题意,得AT∥CE,∴ ∠CER=∠ATR=38°.∴ ∠BED=∠BEC=×(180°-38°)=71°.∴ ∠DEF=180°-∠BED=109°. 类型四 平行线中的“折点”综合应用 8. 已知AB∥CD. (1) 如图①,求证:∠B+∠E=∠D; (2) 如图②,F为AB,CD之间的一点,∠E=30°,∠DFE=140°,DG平分∠CDF,交AB于点G,DG∥BE,求∠B的度数. (1) 如图①,过点E作EF∥AB.∵ AB∥CD, ∴ AB∥CD∥EF.∴ ∠B=∠BEF,∠D= ∠DEF.∵ ∠DEF=∠BED+∠BEF, ∴ ∠B+∠BED=∠D　 (2) 如图②,过点F作FH∥BE.∵ DG∥BE,∴ BE∥FH∥DG.∴ ∠B= ∠BGD,∠E=∠EFH=30°,∠DFH+∠FDG=180°.∵ ∠DFE=140°,∴ ∠DFH=∠DFE-∠EFH=110°.∴ ∠FDG=180°-∠DFH=70°.∵ DG平分∠CDF,∴ ∠CDG=∠FDG=70°.∵ AB∥CD,∴ ∠BGD=∠CDG=70°. ∴ ∠B=∠BGD=70° 9. 问题情境:如图①,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数. 小明的思路是过点P作PE∥AB,通过平行线的性质来求∠APC的度数. (1) 按照小明的思路,求∠APC的度数. (2) 问题迁移:如图②,AB∥CD,点P在射线ON上运动,记∠PAB=α,∠PCD=β,当点P在B,D两点之间运动时,∠APC与α,β之间有何数量关系?请说明理由. (3) 在(2)的条件下,当点P不在B,D两点之间运动 时(点P与O,B,D三点不重合),请直接写出∠APC 与α,β之间的数量关系. (1) 过点P作PE∥AB.∵ AB∥CD,∴ PE∥AB∥CD.∴ ∠A+∠APE=180°, ∠C+∠CPE=180°