考点07 余弦定理7种常见考法归类-2023-2024学年高一数学专题训练与解题方法(人教A版2019必修第二册)

考点07 余弦定理7种常见考法归类 2023-2024学年高一数学专题训练与解题方法(人教A版2019必修第二册) 考点一 解三角形 （一）已知两边及其夹角 （二）已知两边及一边的对角 （三）已知三边 （四）已知一边一角及另外两边的关系 （五）已知一角及另外三边关系 考点二 判断三角形的形状 考点三 余弦定理的应用 （一）求边（求值） （二）求角 （三）最值（范围） 考点四 求三角形的周长 考点五 利用余弦定理解决实际问题 考点六 利用余弦定理证明角相等 考点七 余弦定理与三角函数的综合 1、余弦定理的公式表达及语言叙述 余 弦 定 理 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C 语言叙述 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝ 2．对余弦定理的理解 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”． (3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系． (4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化． 3．判定三角形的形状 (1)有关三角形边角关系解三角形问题，就是从“统一”入手，体现转化思想．判断三角形的形状有两条思路： ①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式． ②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式． (2)判定三角形形状时经常用到下列结论： ①在△ABC中，若a2<b2＋c2，则0°<A<90°；反之，若0°<A<90°，则a2<b2＋c2.例如：在不等边△ABC中，a是最大的边，若a2<b2＋c2，则60°<A<90°. ②在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2. ③在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90°<A<180°；反之，若90°<A<180°，则a2>b2＋c2. ④△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2. ⑤△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2. ⑥△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. ⑦若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝ . 4.利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理(有时还要结合三角恒等变换等知识)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解． 5.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形． (2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形． 6.已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解其他角． (2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长． 7.已知三边(三边关系)求解三角形的方法 (1)已知三角形的三边求角时，可利用余弦定理的推论求解出各角的大小． (2)若已知三角形的三边关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质转化为已知三边求解． 注意：若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角． 8. 当条件中出现了余弦定理的局部或变形如a2＋b2，a＋b，ab，cos A等，可以考虑使用余弦定理或变形形式对条件进行化简变形. 考点一 解三角形 （一）已知两边及其夹角 1．（2024·高一课时练习）在中，角所对边分别为．若，则______． 2．（2024·高一课时练习）若中，，，，则______． 3．（2024·高一课时练习）三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为___________. 4．（2024秋·陕西渭南·高二统考期末）在中，已知. (1)求的长 (2)求的值 （二）已知两边及一边的对角 5．（2024秋·陕西宝鸡·高二统考期末）在△ABC中，，，，则（    ） A．2 B． C．3 D． 6．（2024秋·贵州黔东南·高三统考期末）在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 7．（2024·高一课时练习）在中，已知，，，b＝5，则c＝______． 8．（202