专题7.4二项式定理（八个重难点突破）-2023-2024学年高二数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019选择性必修第二册）

专题7.4二项式定理 知识点1二项式定理 .这个公式叫做二项式定理, 右边的多项式叫做的二项展开式,其中各项的系数叫做二项式系数,式中的叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:. 知识点2二项展开式形式上的特点 （1）项数为；（2）各项的次数和都等于二项式的幂指数,即与的指数的和为. （3）字母按降幂排列,从第一项开始,次数由逐项减小1直到零;字母按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增加1直到. 知识点3二项式系数的性质 （1）每一行的两端都是1,其余每个数都等于它“肩上”两个数的和,这实际上反映了组合数的下列性质:. （2）对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 （3）二项式系数先增后减中间项最大 当为偶数时,第项的二项式系数最大,最大值为,当为奇数时,第项和项的二项式系数最大,最大值为或. （4）各二项式系数的和： 重难点1二项展开式的正用和逆用 【例1】求的二项展开式． 【例2】化简多项式的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】化简： ． 【变式1-2】化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝ ． 【变式1-3】用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． （1）正用:将二项式展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子,先化简再用二项式定理展开. （2）逆用:将展开式合并成二项式的形式,即二项式定理从右到左使用是合并,对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律. 重难点2求二项展开式的特定项 【例3】的展开式中含的项的系数是 ．（用数字作答） 【例4】已知，则“”是“的二项展开式中常数项为60”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】在的展开式中，常数项为 ．（用数字作答） 【变式2-2】写出展开式中的一个有理项为 . 【变式2-3】的展开式中常数项的二项式系数为 . （1）对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项). （2）对于有理项,一般是先写出通项,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解. 重难点3二项式系数与展开项的系数问题 【例5】设的展开式的第项与倒数第项的比是，求展开式中的第项． 【例6】已知二项式（其中且）的展开式中与的系数相等，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-1】在的展开式中，项的系数与项的系数之比为1:2，则项的系数为（   ） A．84 B．63 C．42 D．21 【变式3-2】已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，且的系数为80，则 . 【变式3-3】已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为． (1)求的值； (2)求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答） (1)二项式系数都是组合数,它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念. (2)第项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为 重难点4求两个二项展开式乘积的特定项 【例7】展开式中的常数项为（    ） A．60 B．4 C． D． 【例8】已知多项式，则 . 【变式4-1】已知的展开式中含的项的系数是，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知的展开式中常数项为80，则 . 【变式4-3】已知的展开式中． 的系数为80， 则m的值为 ． ①分别对每个二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点;②找到构成展开式中特定项的组成部分;③分别求解再相乘,求和即得. 重难点5求三项展开式的特定项 【例9】的展开式中的系数为 ． 【例10】若，且，则的值为 . 【变式5-1】展开式中的系数为 . 【变式5-2】的展开式中，的系数为10，则 . 【变式5-3】的展开式中的系数为12，则（　　） A． B． C． D． 应根据式子的特点,转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决),转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合,项与项结合时要注意合理性和简捷性. 重难点6求(二项式)系数之和 【例11】若的展开式的各项系数和为1，二项式系数和为128，则展开式中x2的系数为 . 【例12】若，则 【变式6-1】已知，则（    ） A