2.2 基本不等式 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教版必修第一册A版 讲 师：许 鸥 日 期：2023年9月25日-9月28日（第6周） 2.2《 基本不等式》 （2课时） 教学目标 学习目标：1.理解与掌握基本不等式及其原理； 2.能灵活运用基本不等式求解最值问题以及证明不等式成立； 教学重点：基本不等式以及运用基本不等式求解最值问题 教学难点：运用基本不等式求解最值问题 01 复习旧知——乘法公式（导学） 1、完全平方公式 2、平方差公式 各位同学，初中我们已经学习了乘法公式，它们在代数式的运算中有着重要作用，你们还能对这些公式进行阐述吗？ 01 复习旧知——问题（导学） 那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时也有着与乘法公式相类似的重要作用呢？ 相信各位同学通过今天的学习，将能回答这一问题. 02 探究新知——基本不等式（互学） 1、探究 我们知道，对于 都有 成立 据完全平方公式则有 ① 特别地，令 则有 ② 将②代入①： 即 (当且仅当 时等号成立) 02 探究新知——基本不等式（互学） 2、基本不等式 对于 ，都有 (当且仅当 时等号成立） 叫正数 与 的算术平均数 叫正数 与 的几何平均数 02 探究新知——基本不等式（互学） 3、注意 （1）基本不等式通常用于求解与两个正项相关的最值问题，且在实际运用中，通常变形为 对于 都有 （当且仅当时等号成立） ①对于左边 ，有最小值 ②对于右边 ，有最大值 02 探究新知——基本不等式（互学） （2)如果问题出现的两个项是实数项（即可正、可负、可零），则要运用初中学习的二次函数的图像与性质来求最值. 例1、已知 求 的最小值. 解： ∵ 已知 ∴ ∴ 据基本不等式可得 （当且仅当 时等号成立） 故 的最小值为 2 例2、已知 都是正数， 求证 ： （1）如果积等于定值 ,那么当时，和有最小值 ; 证明：∵ 已知 且 ∴ 据基本不等式可得 （当且仅当 时等号成立） 故和 例2、已知 都是正数， 求证 ： （2）如果和等于定值 , 那么当时，积有最大值 ; 证明：∵ 已知 且 ∴ 据基本不等式可得 ∴据同正可乘方性，两边同时求平方得 (当且仅当 时等号成立) 故积有最大值 ; 例3、(1)用篱笆围一个面积为 100 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短?最短篱笆的长度是多少? 解: 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 ，，则篱笆的长度为 , 且有 ∵ ∴ 据基本不等式可得 ∴ (当且仅当 时等号成立) 故当这个矩形菜园是边长为 10 m 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m. 例3、(2)用一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大?最大面积是多少? 解（2）：由题意可得，即 且菜园的面积为 ∵ ∴ 据基本不等式可得 ∴ ∴据同正可乘方性，两边同时求平方得 (当且仅当 时等号成立) 故当这个矩形菜园是边长为 9 m 的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是 81 例4、某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800，深为3m.如果池底每平方米的造价为150 元,池壁每平方米的造价为 120 元，那么怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 解:设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为 ，，水池的总造价为元, 则有 即 ∵已知水池容积为4800， ∴ , 即 ∵ ，∴ 据基本不等式可得 ∴（可乘性） ∴（可加性） 即 (当且仅当 时等号成立) 故将贮水池的池底设计成边长为的正方形时