精品解析：上海市建平中学2023-2024学年高三下学期3月考试数学试卷

2024届建平中学高三（下）3月月考数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知集合，，则______． 2. 若，则__________． 3. 设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数_____． 4 设随机变量，且，，则____________. 5. 圆锥侧面展开图扇形圆心角为，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为________． 6. 盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示） 7. 在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，，，则____________. 8. 甲乙两人射击，每人射击一次.已知甲命中的概率是，乙命中的概率是，两人每次射击是否命中互不影响.已知甲、乙两人至少命中一次，则甲命中的概率为____________. 9. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 10. 设，，，，则数列通项公式=___________． 11. 已知A，B是平面内两个定点，且，点集.若M，，则向量、夹角的余弦值的取值范围是______． 12. 若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有性质.若函数具有性质，其中，，为实数，且满足，则实数的取值范围是______. 二、单选题（本大题共4题，满分20分） 13. 已知，则“”是“”（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：），所得数据用茎叶图表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（ ） A. 甲乙两班同学身高的极差相等 B. 甲乙两班同学身高的平均值相等 C. 甲乙两班同学身高的中位数相等 D. 乙班同学身高在以上的人数较多 15. 如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 16. 已知函数，定义域为，且，，，则下列结论正确的是（ ） ①若，则；②若，则 A. ② B. ① C. ①② D. 都不对 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 如图，在三棱锥中，，，为中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 18. 设函数，其中.已知. （Ⅰ）求； （Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值. 19. 地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望； （3）转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其它为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得等级的人数不少于2人的概率. 20. 已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，过F与垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为，的中点. （1）若，求点M的横坐标； （2）证明：直线过定点； （3）设G为直线与直线的交点，求面积的最小值. 21. 对于函数与定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”. （1）若函数，，，求函数和的“分界线”； （2）已知函数满足对任意的，恒成立. ①求实数的值； ②设函数，试探究函数与是否存在“分界线”?若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届建平中学高三（下）3月月考数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合并集的定义即可求解. 详解】，， 所以. 故答案为： 2. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可. 【详解】. 故答案为：. 【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题. 3